Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
позволяющему рекуррентно определить все функции uk(i) [а значит, и МО]* Так, например, мы в силу и, (<) = 1 находим
МО—4»
откуда
«I (0=V,*, «, (0 = e-*Xpti.
Мы не будем проводить здесь дальнейших выводов, так как значительно более простые и изящные результаты дает метод производящих функций, к применению которого мы те* верь и переходим.
Положим
F(t, х) = 2 МО**;
4=»
отыскание системы функций vk(t) сводится к отысканию функции F(t, х). Умножая соотношение (8.4) |для *г=0 заменяемое Соотношением (8.5)] на х* н суммируя по к
от 0 до оо, мы находим
% — ~ ^ X* '^p[vk_t(i)=
Л=1 1=1
z=—KF-{-K 2 Pi 2 V (t)x«+t=
1=i g=p
= —XF+Я S PtX1 2 *f W**' /=1 ?=0 4
или, полагая
2 рУ=Ф(*),
Isst
получаем
^ = Я[ф(*)-1]/>,
?§? = Х[ф (*)_!],
а так как при любом х
F(0, *)=*,(<))= 1, то интегрированием no t находим
F(t, *) = e4*(*)-iH, (8.6)
и наша задача решена. Заметим, еще, что при любом t
F(t, 1)=2 «*(0=1,
AsO
вследствие чего (8.6) дает
Ф(1)=1а=1.
Isst
Таким образом, производящая функция F(t, х) для любого стационарного потока без последействия имеет вид
ОО 00
(8.6), где Я>0 и Ф(*)= 2/V*'. 0, 2 pt—l.
<=i i=i
Убедимся теперь, что и обратно, если числа %пр((1=\, 2...)
подчиняются только что перечисленным требованиям, то
существует стационарный поток без последействия, производящая функция которого дается формулой (8.6).
С этой целью мы допустим, что моменты времени, в которые происходят вызовы, образуют простейший поток с параметром X, так что для вероятности Vn(t) того, что за промежуток времени t произойдет к таких «вызывающих моментов», мы имеем обычное выражение
Однако поток самих вызовов не будет, вообще говоря, простейшим, так как мы допустим, что в каждый вызывающий момент может с вероятностью, отличной от нуля, поступить и более одного вызова. Примем вероятность поступления в данный вызывающий момент ровно / вызовов равной pt(l= 1, 2, ...), независимо от того, каков данный вызывающий момент и каково было течение этого потока до данного момента. Этим соглашением мы задаем некоторый определенный поток вызовов, который, очевидно, будет стационарным потоком без последействия. Покажем, что производящая функция F{t, х) этого потока дается формулой (8.6).
Число вызовов, происходящих в любой вызывающий момент, мы определили как случайную величину, принимающую значение / с вероятностью pt\l= 1, 2, ...); производящая функция такой величины есть
% Plxl=Ф (х).
i=i
Возьмем теперь г любых различных между собой вызывающих моментов и обозначим через Рг(?) вероятность того, что в эти г моментов в совокупности произойдет к вызовов, так что суммарное число вызовов за г вызывающих моментов ссть случайная величина с производящей функцией
2 РЛк)хк
*=0
[где, разумеется, Рг(А)=0 при k<^r\. Но эта случайная величина есть сумма г взаимно независимых случайных величин, каждая из которых имеет производящую функцию Ф (х).
Так как при сложении взаимно независимых случайных величин их производящие функции перемножаются *), то поэтому
2 рд*)*а={ф wr.
А так как с другой стороны, очевидно, для рассматриваемого потока
»*(0=2 МО РД*),
rso
ТО
F(t, х)= 2 2 ** 2 Vr{i) РД*) =
iso А=0 rsg
= 2 2 р»- (*) **= 2 (*)}'=
г=о fc=o r=o
и|-« 2
r=0
что совпадает с формулой (8.6).
Мы можем формулировать результат нашего исследования так: совокупность всех стационарных потоков без последействия совпадает с совокупностью всех потоков, даваемых формулой (8.6), где Я^> 0:
GO ОО
®w=2 Pt(/!=г1»2. •••). 2p/=i.
(=1 4=1
С предметной точки зрения мы убедились, что для каждого стационарного потока без последействия поток вызывающих моментов является простейшим и для полного описания данного потока вызовов надо, кроме параметра А этого простейшего потока, задать еще закон распределения (Pi, Р*. •••» Ра> •••) числа вызовов, поступающих в любой
*) Это непосредственно вытекает из того, что для случайной величины ?с законом распределения P{g = n} = g„(n = 0, 1, 2,...)
00
производящая функция f(x)=z 2 ?/**" есть» очевидно, матема-тическое ожидание величины Л
выбранный вызывающий мрмеит. Очевидно, эти соображения делают совершенно прозрачной структуру самого общего стационарного потока без последействия.
