Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
к данной установке прикреплено большое число абонентов, то общий поток вызовов слагается из потоков (сравнительно весьма малой интенсивности), исходящих от отдельных абонентов, причем эти слагаемые потоки можно в первом приближении считать стационарными, ординарными и взаимно независимыми.
Мы приходим на этом пути к ряду своеобразных предельных теорем, которые способны в значительной степени объяснить исследуемое явление. Этим вопросом мы и займемся в настоящей главе.
Пусть исследуемый поток представляет собой суперпозицию п стационарных, ординарных и взаимно независимых потоков. Обозначим через %г интенсивность г-го потока, через <рг (/) его функцию Пальма [которую в гл. 3 мы обозначали через <р0(0] и через vkr(t) — вероятность поступления в промежутке (0, t) к вызовов г-го потока. Те же величины для суммарного потока обозначим соответственно через А, Ф (/)
и Vk (t) (так что в частности Л=А,, —А,а —J— • • • -f-A,B). Мы
будем исходить из следующих предпосылок:
1°. При п—еоо, Л остается постоянным, в то время как числа X,, Хг, .. .,Х„ равномерно стремятся к нулю, так что для любого е^> 0 мы имеем е (г ==
= 1, 2,..., й), если п достаточно велико.
2°. При любом постоянном и при п—> оо числа
Фг (0 = 1, 2, .. - ,л) равномерно стремятся к единице, так что для любого е 0 мы имеем 1 — <р, (t)
<^е (1 а^г^л), если п достаточно велико.
Предпосылка 2° требует некоторого пояснения. Ближайший анализ показывает, что одного равномерного уменьшения интенсивности слагаемых потоков, выражаемого предпосылкой Iе, еще недостаточно для того, чтобы суммарный поток приближался к простейшему; этому могут помешать скопления большого числа вызовов одного и того же цотока на небольших участках — скопления, возможность которых создается тем, что последействие в каждом из слагаемых потоков мы не подвергали до сих пор никаким ограничениям. Предпосылка 2° имеет целью как раз уменьшить шансы такого рода скоплений. Она говорит, что при сколь угодно большом t вероятность не получить после некоторого вызова ва время t ни одного нового вызова того же потока должна
при п—>- оо стремиться к единице равномерно по всем слагаемым потокам.
Прежде всего мы покажем, что при сделанных предпосылках вероятность Vt {t) отсутствия вызовов суммарного потока в промежутке (0, t) приближается при п—> оо к соответствующей вероятности для простейшего потока с параметром А*).
Теорема Пальма. При постоянном 0 и при п—*¦ оо
р.(0—
Доказательство. Формула (10.5) дает для г-го потока
* t
1 —«.,(*) = *> S ФД«)Л* = У — К JI1 — Ф, («)] du>
• о
или
t
v»r (*) = 1 — М+*> Jl1 — Фг («)] du>
поэтому в силу 2° при достаточно большом п
*„(/)=!+ (Н.1)
*) В работе Г. А. Ососкова «Одна шредельная теорема для потоков однородных событий» (журнал «Теория вероятностей и ее применения», т. 1, вып. 2, 1956, 274—282) рассуждениями, в значительной степени повторяющими рассуждения А. Я. Хинчина, доказана несколько более общая теорема:
Для того чтобы суммарный поток, о котором шла речь, при п—> о» сходился к простейшему потоку с параметром Л, достаточно выполнения условия: при фиксированном <>0 н л_______*.оо
х2М>*(0 — 1. (1)
л k=I
Если же параметры слагаемых потоков бесконечно малы, т. е. при любом е>0 для достаточно больших п
max
то условие (1) является и необходимым.
Несколько иная формулировка теоремы Г. А. Ососкова и ииое доказательство даиы Б. И. Григелионисом.— Б. Г.
отсюда легко находим
| In w4r(0+VI <с (*)«*>, (Кг<л),
где с (0 0 зависит только от t. Так как в силу взаимной
независимости потоков
V.W = П «.ДО,
то отсюда
2 [lnw,, (о+V]
Г= 1
п
< S |lnw,r(0 + VI<c(0eA.
Г = 1
Так как в^>0 сколь угодно мало при достаточно большом п, то при п—юо
In V4 (/)—*¦ — Л/, V, (*)->«-">
что и требовалось доказать.
Без достаточных оснований Пальм полагает, что доказанная теорема уже влечет за собой приближенно простейший характер суммарного потока *). Разумеется, этой теоремы еще далеко не достаточно, и мы должны теперь перейти к дальнейшему исследованию вопроса.
§ 15. Предельное поведение функций Vk(f)
Мы должны теперь в первую очередь убедиться, что и при любом k > 0 функция Vk (0 нашего суммаркого потока при п—юо стремится к соответствующей функции простейшего потока с параметром Л, т. е. к e~M(A.t)kj k\ С этой целью нам понадобится следующая общая
Лемма. Пусть мы имеем стсщионар/ный и ординарный поток с интенсивностью % и функцией Пальма <р(0 и пусть ф (0. как прежде, означает вероятность поступления не менее двух вызовов за время t. Тогда при любом
