Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Хинчин А.Я. -> "Работы по математической теории массового обслуживания" -> 16

Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.

Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1963. — 236 c.
Скачать (прямая ссылка): rabotapomatteoriiobslujivaniya1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 71 >> Следующая

(*ч> • • • > zn) = (#i, it tx, ..., tn *B_t),
таким образом, данный поток однозначно определен и в новом смысле.
Обратно, если при любом л нам задан закон распределения вектора (zlf zt, ..., г„), то в силу
*
tk= 2 *i (1<*<л)
1 = 1
тем самым однозначно определен и закон распределения век-тора (/,, tv ...,tn). Но при любых и любых
целых ?„ kt, ...,?„ система неравенств
**!<«/> **1+.3*И/ (!<*<«) (12.3)
равносильна системе равенств
x(u{) = ki (1 ^/^л); (12.4)
так как вероятность системы (12.3) однозначно определена, то то же имеет место и для системы (12.4). А это означает, что при любом п и любых и,- (1 s^/г^л) однозначно определен закон распределения вектора [л:(ы,), x{ut), .. .,х(«„)], т. е. что наш процесс однозначно определен в смысле § 6.
Таким образом, указанный нами новый способ задания потока вызовов действительно равносилен принятому в § 6.
§ 13. Потоки с ограниченным последействием
Если данный поток — без последействия, то величины zlt zt, ..., za, очевидно, взаимно независимы. Однако обратное заключение, как мы узнаем в дальнейшем, было бы неверным. Взаимная независимость величин zk в значительной степени ограничивает явление последействия, но не исключает его полностью. В части II мы узнаем, что как раз потоки с взаимно независимыми zk, но с наличием последействия играют важнейшую роль в теории обслуживания вызовов полнодоступным пучком линий. Мы должны поэтому заняться теперь установлением некоторых основных свойств таких потоков.
Условимся (следуя Пальму) называть потоком с ограниченным последействием всякий поток, у которого г,, г,, . есть последовательность взаимно
независимых случайных величин*). Очевидно, для однозначного описания такого потока достаточно задать законы распределения всех величин zk(k= 1,2, ...). Мы будем в дальнейшем обозначать эти законы через Fk(x) (6=1,2,...).
Мы знаем, что если данный поток — стационарный и ординарный, то полное отсутствие последействия влечет за собой простейший характер потока, подробно изученный нами
*) В другом плане потоки с ограниченным последействием
изучаются в теории восстановления, см. работу В. Смита «Теория восстановления и смежные с ней вопросы», сб. переводов «Математика», т. 5, вып. 3, 1961, 95—150.— Б. Г.
в главе 1. Поэтому стационарный и ординарный поток с ограниченным последействием мы можем рассматривать как некоторое обобщение простейшего потока*). Именно такого рода потоки представляют значительный интерес для теории обслуживания в случае систем с потерями (см. далее гл. 8). Стационарный ординарный поток с ограниченным последействием мы будем для краткости называть потоком типа Р (или потоком Пальма).
В § 9 мы ввели для любого стационарного потока систему «функций Пальма» Ф*(0 (*=0, 1, 2,...). Функция фо(0. как мы теперь увидим, играет основную роль в теории потоков типа Р. Заданием атой функции поток типа Р однозначно определяется. В самом деле, так как в случае потока типа Р величины zt,zt, между собою не-
зависимы, то для однозначного определения закона распределения каждого вектора (*„ zt,...,zu) (л = 1,2,...), а значит, и для однозначного описания потока достаточно задать законы распределения Fk(x) величин zk(k=l, 2,...). Но эти законы однозначно определяются заданием функции Пальма ф# (/), как показывает следующее предложение.
Теорема. Для потока типа Р
X
Fx (*) = Х$ ф0 (и) du, Fk (х) = 1 — ф0 (х) (k > 2).
0
Для лучшей обозримости мы разобьем доказательство на несколько этапов.
1. Так как /71(д:) = Р{/| есть вероятность наличия вызовов в промежутке (0, х) и, следовательно, в наших старых обозначениях равна
W(,)s=l __„.(*)= 1_ у,(*),
то утверждаемое выражение для Ft (х) непосредственно вытекает из формулы (10.7) при т = 0; при этом параметр А,
*) Интересно заметить, что ограниченность последействия следует из отсутствия последействия лишь для ординарных потоков. Неординарный поток без последействия может ие быть потоком с ограниченным последействием. Примером может служить
поток, рассмотренный нами в конце § 8 при = = —. (Этим
замечанием автор обязан П. И. Васильеву.)
данного потока определяется через функцию <pe (t) с помощью соотношения
00
Ф*(в) <*и = Л( + °о)=1-
Нам остается, таким образом, рассмотреть случай k~^> 1.
2. Положим, как в § 8,
¦*10— 1 - v*_.(0=** (0+W0+. •.
Тогда имеет место
Лемма. (См. примечание на стр. 68 — Б. Г.) Для любого потока типа Р и любого г О
Sc±i<“i-_,0 (и—> 0).
1|), (и) ' '
Доказательство. Обозначая через tk момент й-го вызова и полагая, как прежде, ih — tt_t = zb(k= 1,2,...), мы очевидно имеем
и следовательно, в силу независимости zr+l от tr
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 71 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed