Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
*) Мы должны при этом отметить, что доказательство Пальма, с одной стороны, налагает на функции <jy (/) излишние требования, а с другой — содержит пробелы.
Доказательство. Разобьем отрезок (0, t) на т равных между собой частей (ячеек)
Поступление в отрезке (0, t) по меньшей мере двух вызовов, очевидно, влечет за собой наступление по меньшей мере одного из следующих двух событий:
(A) Существует по меньшей мере одна ячейка Дй, содержащая не менее двух вызовов.
(B) Существует такая ячейка Д*(?<^/»), что как в Дл,
так и в отрезке t ^ содержатся вызовы.
Поэтому мы имеем
Прежде всего мы имеем в силу ординарности данного потока
Далее в § 9 мы обозначали через йв(т, t) вероятность того, что в промежутке длины т имеются вызовы, а в следующем за ним промежутке длины t вызовов нет. w (т)—й0(т, t) есть поэтому вероятность того, что вызовы имеются как в т, так ив/, следовательно,
е> о
?0 о <*<»>.
Ч>(0^РИ)-|-Р(Я).
(15.1)
т
(15.3)
§ 15. ПРЕДЕЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ Vk (t) Так как при т—> оо
т
то правая часть последних неравенств при т —> оо стремится к Ai[l—ф(0]- А так как ¦ (О от т ие зависит, то из
(15.1), (15.2) и (15.3) вытекает в пределе при т—>-оо
*(*)<Хф—Ф(01,
что я требовалось доказать.
Введем теперь следующие обозначения для событий: Ак — в промежутке (0, О поступает k вызовов суммар-ного потока;
Ht — ни один из слагаемых потоков не дает в (0, f) более одного вызова;
Ht — по меныией мере один из слагаемых потоков дает в (0, О более одного вызова.
Нашей целью является исследование асимптотического поведения величины Vll(t) = P(i4). Но
ри*)-р("А>+р("А>.
и, обозначая функцию ф (Г) для r-го слагаемого потока через ¦ДО. в силу доказанной леммы
р (ЯА) < Р («.) < 2 ¦, (0 < S К* I'1 - ¦, (01:
fss 1 fSl
а так как в силу предпосылки 2° мы имеем при достаточно большом п
1— Ф,(0<в (г —1, 2, я),
то при достаточно большом п
P (WAX в/Л,
и, следовательно, прн п—юо
Р(«А)=?о, МО—P(«A)+e(iv (*5.4)
Но событие Я А состоит, очевидно, в том, что из п слагаемых потоков какие-то к дают в промежутке (0, f) по одному вызову, тогда как остальные п — к в этом проме-
жутке вызовов не дают. Поэтому, если С(г,, г,, ... , /*) означает произвольное сочетание из к различных между собой чисел ряда 1,2, ... , л, то
«Кг,(0 ••• (0 п
Р(ЯА) = ^^,(0^,(0 ••• V*(0 й,(/)=
= П(02П ГИГ)* <15-5>
С р = 1 *гру>
где суммирование производится по всем сочетаниям описанного типа.
Теперь мы можем приступить к доказательству нашего основного утверждения.
Теорема. При п—юо
Vk{t)-*e~“?j? (к=0, 1, 2, ... ).
Доказательство. Из (14.1) следует, что при достаточно большом п
l«v(0—VIs!1— %Л*)—VI<®M 0 </¦<«);
а так как vxr(t)=wr{t) —i|>,(<) и в силу доказанной леммы, при достаточно большом п, Фг(1)<СеМ> то мы можем прн постоянном t писать
Кр*-\гяАгр*> \ о
«о»>(0=1 — КР* + Яг*КР*=1+<1г* I (Р— ’ ............
где glt qt, qt (как и дл, д(, ... в дальнейшем) ограничены при п—>оо. Отсюда
(/>=1,2, ... ft),
и, следовательно,
* °irp (0
Ц 7 77\==^г,Хгг • • • Arjk/*(1 "}~^|в).
р=г 1 ОГр
В силу (15.5) и теоремы Пальма (§ 14) поэтому
Р(ЛА)=в-*< <*(1+*.в)2ХА*... К*
С
Так как в произвольно мало при достаточно большом я, то для доказательства теоремы нам в силу (15.4) достаточно убедиться, что при п—» оо*)
‘^А== 2 Ki^r, • * • Kk . (15.6)
Это мы теперь и сделаем. При k—\ соотношение (15.6) тривиально. Пусть поэтому для некоторого /s^> 1 при п—> оо
s*-i=fc2 КК • • • Кш-г =(T3T)i+0(1)- 05.7)
Умножим каждый член суммы Sk_x на сумму всех %it не входящих в него, т. е. на величину
Л — К,~ К2------------Kk-f
Тогда после раскрытия всех скобок мы получим сумму произведений вида
К,К, • • • к»
где индексы г,, rt, ..., rk попарно различны между собой.
Каждое такое произведение есть один из членов суммы •s*; обратно, любой член суммы Sk будет, очевидно, получен при этой операции и притом в точности k раз [член Хг%Гг ... Kk_lKk получается как (кГ1ХГг.. \k_ Жк, как
(KtK, ... V, tKk)Kk_l и т- Д-» наконец, как
(Я,г>, , Хгк)Я,Г1]. Так к к, очевидно, при достаточно боль-
шом я и при любой комбинации С*_,
Л (k — 1) в ^ Л — ... j ^ A,
то из нашего подсчета следует
(Л — k&) ^ kSfr ^ ASj.,,
*) Мы здесь для большей отчетливости обозначаем различные сочетания по к из чисел 1, 2, ... , п через С* (вместо прежнего обозначения С).
3 А. я. X инчни
н следовательно, из (15.7) при я—> оо
*-*•> [(Ггт*+,,(|>Ны**аЛ [(&?+•(')]:
а так как в при достаточно большом я как угодно мало, то kSk—*Akl(k—1)! при я —> оо, т. е.
