Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
и так как
00
dl&*> = F(t,x)Xt<!>'(x), F(t, 1)=2>*(0=1,
Й = 0
ТО
ц?=А,<Ф' (1) = №[/>, -V- 2/>а —J— Зрж —...],
откуда
H=4/Ji + 2/J, + 3P*+ • ••]•
Так как
00
2^=1
l=z\
И
Pi^o (/>1),
то мы непосредственно видим, что для равенства ц=А, необходимо и достаточно иметь pt — 1. Но npH/j, = l данный поток, как мы видели в конце § 8, является простейшим. Таким образом, среди стационарных потоков без последействия только простейшие потоки удовлетворяют требованию ц=Я; для всех остальных
Так как для стационарного потока без последействия ординарность есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы этот поток был простейшим, то можно еще сказать, что для стационарного потока без последействия, интенсивность которого конечна, необходимым и достаточным
условием равенства ц = А является ординарность этого потока *).
Выведенные нами в § 10 формулы Пальма позволяют, как это показал В. С. Королюк, легко убедиться, что для любого стационарного потока ординарность влечет за собой равенство ц=А (причем не исключается случай ця= A,
В самом деле, мы имеем
2 S K(i)+**+, (1>+«*+,(П+ • ••]=
tsl k—t
= 2 [i-n.,(i)]=2 [1-^(1)],
ft = l * = 0
откуда в силу формулы (10.7)
00 1
У = $ Фа («)<*«• (11.1)
ft=0 Ф
Но
(11.2)
а так как отношение А*(т, u)jw (т) есть условная вероятность иметь в промежутке и ровно k вызовов (при условии наличия вызовов в промежутке т), то при любом /»^> О
о
а потому в силу (11.2) т
?ф*(и)<1 (0<и<1);
*=«
*) Совсем простое доказательство этого предложения и при-
мер, в силу которого для потоков с бесконечной интенсивностью нз равенства fi. = Л, ординарность потока не вытекает, были даны Ф. Зитеком в работе «Заметка об одной теореме Королюка», Че-хословац. матем. журнал, т. 7 (82), 1957, 318—319,— Б. Г.
следовательно, при любом /я^> О
от 1 1 т
2 S<p*(e)rfB=$ {2ф*(я)}л*<1;
*=оо о isi
а значит, и
о» t
2 $ф*(я)<1в<1,
ft=o о
и (11.1) дает Л; а так как еще в § 4 мы видели, что всегда fi^A, то |*=А, и наше утверждение доказано.
Глава 4
ПОТОКИ С ОГРАНИЧЕННЫМ ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ
§ 12. Другой способ описания потока
Способ задания потока вызовов, описанный нами в § 6, исходит из понимания потока как случайного процесса x{t) и ничем не отличается от общего способа описания произвольного случайного процесса. Это автоматическое включение теории потоков в общую теорию случайных процессов, несомненно, имеет свои преимущества, так как позволяет применять к изучению потоков методы и результаты общей теории случайных процессов; однако, учитывая специфические свойства наших потоков как случайных процессов [и в первую очередь то, что величина х (/) всегда монотонна и принимает лишь целые неотрицательные значения], мы можем надеяться найти для этих потоков хоть и менее общий, но зато более простой и удобный способ описания. Этим вопросом мы теперь и займемся.
Пусть снова начальный момент данного потока есть /0=0; пусть // (/= 1,2,...) есть момент 1-го вызова, так что 1, 2,...); положим, наконец,
tt — tl_l=zi(i= 1, 2,...),
гак что zl = tl, a zt при /^>1 означает величину промежутка времени между (/—1)-м и t-м вызовами. Очевидно, все tt и Z[ (/==1,2,...) представляют собой случайные величины, способные принимать лишь неотрицательные значения.
Условимся теперь считать поток заданным, если для любого О задан л-мерный закон распределения вектора («,, гг, ..., zn). Очевидно, этот способ описания потока бо лее элемен1арен, чем выбранный нами в § 6, так как в основе его лежит представление о потоке не как о случайном процессе общего вида, а как о последовательности случайных величин. Убедимся теперь, что оба способа задания потока равносильны, т. е. что поток, заданный с помощью какого-либо одного из этих двух способов, будет тем самым однозначно описанным и в смысле другого способа.
Пусть, как в § 6, x(t) означает число вызовов, предшествующих моменту t; очевидно, неравенства tk<^u и x{u)^k выражают собой одно и то же событие; то же самое имеет место и для неравенств tk^ и, х (и) <1 к, а значит, и для неравенств u^tk<^v, x(u)<^k^x(v). Отсюда далее следует, что система неравенств
«*<**0*0 (12.1) выражает то же событие, что и система неравенств
*(«*)<* <*(«*) (1 <6<л), (12.2)
каковы бы ни были вещественные числа ик, vk (1^6^ я).
Если поток вызовов задан в смысле § 6, то при любом л и при любых ик, vk (1 k ^ я) нам задан закон распределения 2л-мерного вектора [х {uk), x(vfc); k= 1, 2,..., л] и, значит, однозначно определена вероятность системы (12.2), а следовательно, и равносильной ей системы (12.1). Но ввиду произвольности чисел ик, vk последнее означает, что однозначно задан закон распределения вектора (flt tt, ..., tn), а значит, и вектора
