Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
/si
а так как в силу стационарности потока P{x(t() — x(tt_l) = kt — kl_l}=*P{x(tt — t(_l) = kl — го») —*/-»} */-0 (1 <<<«).
П
1=1 *
*) Здесь и в дальнейшем мы, разумеется, полагаем ог (/) = О для любого отрицательного индекса г.
Это показывает, что заданием системы функций vk(t) действительно однозначно определяются вероятности вида р {х (tj) — kh 1 / sS я}, т. е. полностью характеризуется
данный поток как случайный процесс.
В частности, для простейшего потока с параметром Я мы имели (§ 2)
**(9 = «-“ТЙГ- (* = 0,1,2,...);
поэтому для простейшего потока с параметром Я мы имеем при
0=^ tx tni 0 ^ А, ^ kt ^ ^ kn
Р = Л/, 1</<я} =
" -щ,___/. \*t — *1-1
------=
At <*# — */_!>*
§ 7. Основное свойство стационарных потоков
Для любого стационарного потока условимся, как в главе 1, обозначать через «>(*) вероятность того, что в течение промежутка времени длины t произойдет по крайней мере один вызов, так что
w(0=l — v*(0= 2 VkW-
ksst
В § 4 мы убедились, что для стационарного потока без последействия (в частности, для простейшего потока) отношение w(t)Jt при t—>0 стремится к определенному пределу Я, который мы называли параметром данного потока и который, как мы видели, имеет важнейшее значение для изучения основных свойств этого потока. Соотношение
(7.1)
равносильное соотношению
«(#)—fc + etf) (f—0),
(7.2)
часто выражают, говоря, что w(t) при малых t «асимптотически пропорционально» t. В подавляющем большинстве изложений теории простейшего потока соотношение (7.2) [или (7.1)] прямо включается в определение простейшего потока*), что, как мы видели, является излишним, так как это соотношение выводится как простое следствие требований стационарности и отсутствия последействия.
Однако соотношение (7.1) на самом деле обладает еще значительно более широкой областью примзнимости; оно имеет место, как мы теперь убедимся, для любого стационарного потока. Параметром, как мы его определяли в главе 1, обладает, таким образом, каждый стационарный поток, независимо от наличия или отсутствия последействия. Это обстоятельство дает нам, как мы увидим, весьма удобный опорный пункт для изучения общих свойств стационарных потоков.
Доказательство существования предела (7.1) для любого стационарного потока опирается на следующую элементарную лемму теории пределов, которая, как мы увидим, пригодится нам и в дальнейшем.
Лемма. Пусть функция f{x) — неотрицательная и неубывающая в отрезке 0<*<ои/(х-\-у) (лс) -|~/(у),
если х, у и лг-f у принадлежат отрезку (0, л). Тогда отношение /{х)]х при х—>-0 либо безгранично возрастает, либо стремится к некоторому пределу; этот предел равен нулю только в тривиальном случае /(л) = 0.
Доказательство. Из неравенства f(x-{-y)<f(x)-{-f(y) легко следует, что
для 0<^х^а и любого натурального числа т\ в частности, при х=а
(7.3)
(т — 1, 2, ...);
т
*) См. Erlang [7], Феллер [3], Фрай [4], Хинчин [5].
это показывает, что [за исключением тривиального случая /(e)-0]
*-ю * а
причем не исключен случай а=4-оо.
Допустим сначала, что а<^-|-оо. Пусть число с> 0 таково, что
f-f> а-в, (7.4)
где е>0— сколь угодно малое наперед заданное число, и пусть 0<^л:<^с. Определим натуральное число т^2 из неравенств
с ^ ^ с
ш в5а*< I ’
тогда в силу (7.3) и предположэнной монотонности f(x)
f(x)^f {т )__m— ^ т- 1 /(с)
х с т с т с * ' '
т-1
и, значит, в силу (7.4)
-i)
а так как е произвольно мало и т—*-оо при х—>-0, то
lim ?W=а,
v '
X •*> 0 А
и лемма доказана. Рассуждение остается в принципе тем же npi a=-j~oo. Мы берзм произвольно бльшое А^>0 и выбираем число с так, что f(c)jc^>A; тогда нз (7.5)
Теорема. Для любого стационарного потока существует
Нт^ = Я>0,
t -*¦ о *
причем не исключен случай. Я = -|- сю.
Доказательство. Достаточно показать, что функция w(t) в некотором отрезке (0, а) удовлетворяет всем предпосылкам только что доказанной леммы. Очевидно, что w(t)^0 и с возрастанием t не может убывать; очевидно также, что в Силу стационарности потока w {а) ]> 0, если мы отбросим тривиальный случай потока, в котором вызовы вообще невозможны. Наконец, если произошел по меньшей мере один вызов в промежутке (0, то, очевидно,
