Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
зато мы теперь убедимся, что в случае стационарного потока без последействия предел отношения \при t—>-0 существует для любого к > 0. Так как vk (t)=i|)*(<)—1|)k+l(t), то отсюда будет следовать, что и предел отношения vk (t)jt при t—>О существует для любого 6>0. В случае простейшего потока мы имеем, конечно, w, (t)Jt—>¦%, vk(t)]t—>-0(6> 1).
Подобно рассуждению § 7 мы начнем с доказательства одного элементарного вспомогательного предложения из теории пределов, представляющего собой некоторое усиление леммы § 7.
Лемма. Пусть функция /(х)— неотрицательная и неубывающая в отрезке 0 отношение f(x)jx
ограничено в этом отрезке и
где с^>0 — постоянная, п — любое натуральное число, и О<^пх^а; тогда отношение f(x)jx при х—»0 стремится к некоторому пределу /S® 0.
Доказательство. Полагая в (8.1) x—xjn, где 0<^xt^a, получаем
мы можем принять /^>0, так как при /=0 утверждение леммы тривиально.
Пусть е^>0 задано произвольно. Выберем xt<^-^- и
так, чтобы
Пусть 0 и натуральное число я^> 1 определяется
неравенствами
/(пх) < п/(х) -|- спг Xх,
(8.1)
/(*.><«/(») +
откуда
Z1
п
(8.2)
Положим
тогда в силу (8.2)
если х достаточно мало; так как, с другой стороны, /(х)]х <^/+е для достаточно малых х, то
(*_0),
и лемма доказана.
Чтобы установить существование предела отношения 1при t—>-0, нам надо только показать, что функция прн &^>0 удовлетворяет всем предпосылкам доказан* ной леммы. Неотрицательность и монотонность i|)A(0 в любом отрезке самоочевидны. Далее, из (f)=w(0 и
—>Я (t—>-0) вытекает ограниченность (t)jt в любом отрезке. Поэтому нам остается только убедиться, что tj)ft (t) удовлетворяет соотношению (8.1).
Обозначим с этой целью через gt верхнюю грань отношения “ф*(0/^ в области 0<^/<^-|-oo(/Ss 1) и положим
ft —1 ~ 2^ StSk-i-
Мы утверждаем, что
(8.3)
откуда и будет следовать, что функция i|>ft(0 удовлетворяет соотношению (8.1).
Неравенство (8.3) мы докажем с помощью индукции по я. При я= 1 оно тривиально. Допустим, что для некоторого я оно имеет место. Для того чтобы в отрезке [0, (я +1) *] длины поступило не менее к вызовов
[вероятность чего равна т|)л {(я —1) ^}], необходимо, чтобы при каком-либо / (0 <;/<;&) имелось не менее / вызовов в отрезке (0, 0 и не менее к — / вызовов в отрезке [f, (я-{-1)*] (длины nt); поэтому
!>*[(«+!)*]< StiW(«0 =
/=о
(0 % (т) 4- % (0 "Фо (ш) + 2 у, (t) <
/si
*-1
< (Щ) + % (о + nt* jg lift -1 =
В силу (8.3) отсюда
К* + 1) *] < (Я +1) ¦* (0 + Лл 1^Р1
а это и есть соотношение (8.3) с я+1 вместо я.
Таким образом, функция tyk(t) при ?>0 удовлетворяет всем предпосылкам доказанной леммы, и следовательно, при t—>О отношение а значит, и отношение vk(t)]i
стремятся к определенному пределу. Так как w{t)ji—0 при t—>-0, то и отношение vk(t)]w\t) при этом имеет определенный предел.
Положим
Ига К(0М0]=Р* (*=1, 2, . . .).
t -* о
Отношение vk(i)jw(t) есть вероятность получить к вызовов в отрезке длины t, если известно, что в этом отрезке вызовы существуют. Предел этого отношения при t—+0, т. е. число рк, можно поэтому рассматривать как вероятность получения к вызовов в определенный момент, если известно, что в этот момент вообще вызовы происходят (такое истолкование величины рк возможно, но, конечно, не обязательно).
Перейдем теперь к определению общего вида функций vk(f) для стационарного потока без последействия. В § 3 мы установили для такого потока [см. (3.1)] общее соотношение
k
»*(*+*) = 2 ) (tyo, т>0, *=0, 1, 2,...);
/=0
так как при т—*>0
v*(t) = <?'Xt=1 —Xt + 0(t), то отсюда при *>0
*
v*(^ + f) = (l — Ят)®*(0+ 2 М*)®*-, (О + о (А
/=1
и, следовательно,
ь,.ю+ 2 а?Ч-, W+. (1).
Iasi
Но при /^0 в т—>-0 по доказанному выше
М1> —
X ~W( т) т —*лРр
поэтому предельный переход доказывает существование ®*(0 и дает
л
М0 = -*М0 + Я 2ptvk_t(t) (* = 1, 2, ...). (8.4)
<Sl
Добавляя сюда очевидное соотношение
*;(*)=—ч(о, (8.5)
мы получаем систему уравнений, позволяющих однозначно определить систему функций vk(t). В частности, к этому ведет путь замены неизвестных функций, которым мы пользовались в § 3. Полагая, как там,
МО —«”%(0 (*==0, 1, 2, ...),
мы легко приводим систему (8.4) к виду
Uk{f)=*\ (0 +/>,«*-,(0 + • . • + />*«, (01.
