Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Хинчин А.Я. -> "Работы по математической теории массового обслуживания" -> 6

Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.

Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1963. — 236 c.
Скачать (прямая ссылка): rabotapomatteoriiobslujivaniya1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 71 >> Следующая

Условимся обозначать в дальнейшем для любого стационарного потока через w{t) вероятность того, что за промежуток времени t произойдет по меньшей мере один вызов. Очевидно, мы имеем
w(t)= \—v9 (0 =Д (0=vx (t) -4- -ф (t),
00
где ф (t) = 2 vk (t) по-прежнему означает вероятность по-t=i
ступления по меньшей мере двух вызовов за промежуток времени длины t. Для простейшего потока с параметром Jl v0(t) = e~u и, значит, при t—>0
w(t)=l—e-Xi = kt-lro(t),
или, что то же,
llm !5Й = Х. ,4.1)
t-* о 1 ' '
Мы можем считать это соотношение определением параметра к для данного потока. Мы узнаем в дальнейшем, что предел
(4.1) существует у любого стационарного потока и определенный соотношением (4.1) параметр К служит одной из важнейших характеристик этого потока.
Но вернемся к простейшему потоку и найдем теперь математическое ожидание числа вызовов, поступающих за
промежуток времени длины t. Оно равно
так как последняя сумма, очевидно, равна ен. Мы могли бы предвидеть этот результат и заранее, так как известно, что математическое ожидание величины, распределенной по закону Пуассона, равно параметру этого закона, т. е. в данном случае равно \t.
Математическое ожидание числа вызовов в единицу времени называют интенсивностью данного потока; мы будем обозначать эту интенсивность через [г. Как мы только что установили, для простейшего потока |х=Я. Однако для стационарных потоков более сложной структуры это равенство не только не очевидно, но и не всегда верно; в этом вопросе мы подробно разберемся в дальнейшем. Сейчас же убедимся только, что для любого стационарного потока ц ^ Я. В самом деле, математическое ожидание числа вызовов за время t для данного потока равно
а так как левая часть этого неравенства от t не зависит, то в силу (4.1) |1Я; разумеется, самое существование предела (4.1) для любого стационарного потока еще должно быть доказано.
Итак, интенсивность (х простейшего потока совпадает с его параметром Я; для произвольного же стационарного потока мы пока можем утверждать только, что ц ^ Я. При этом существование предела (4.1) для любого стационарного потока еще должно быть доказано*).
*) В сущности и параметр Я может быть реально интерпретирован как «интенсивность» данного потока, так как соотношение (4 1) показывает, что вероятность поступления вызовов в промежутке бесконечно малой длины t асимптотически пропорциональна t, и коэффициентом пропорциональности служит как раз параметр Я. Можно было бы говорить о «верхней интенсивности» (I и «нижней интенсивности» Я (так как всегда В даль-
нейшем (§ 11) мы узиаем, что для ординарного потока всегда р = А..
00
со
§ 5. Поток с переменным параметром
В этой книге мы будем изучать почти исключительно стационарные потоки вызовов. Однако для некоторых простейших задач решение в нестационарном случае настолько легко проводится и вместе с тем имеет столь ясное практическое значение, что было бы жаль оставить его совсем без рассмотрения. В частности, в настоящем параграфе мы подвергнем изучению потоки, не обладающие стационарностью, ио являющиеся, подобно простейшему потоку, ординарными потоками без последействия. Мы сейчас более точно поясним смысл этих предпосылок.
Если поток не стационарен, то вероятность получить к вызовов за промежуток времени длины т зависит не только от т, но и от начального момента t этого промежутка: поэтому мы будем обозначать ее через vk(x, t). Таким образом, vk (т, t) есть вероятность того, что за промежуток времени (/, произойдет к вызовов. По аналогии со
стационарным случаем мы полагаем
1 —®,(т, 0=®(*. 0; 1—®,(т» *) —®,(т> 0=1|>(т, 0-
Мы будем называть исследуемый поток ординарным, если при т—>-0 и любом постоянном t^sO имеет место соотношение
Ф (т. 0 , о t
Далее мы должны допустить, что для любого t^O существует
Пш 2?li> = M0 (5.1)
т -» 0 Т
(мгновенное значение параметра).
Исходя из этих предпосылок, мы поставим себе задачей найти выражение функций vk (т, 0- Рассмотрим, как и прежде, сначала случай Л = 0.
Так как мы имеем дело с потоком без последействия, то при Дт>0
®,(т+Дт, *)=®*(т» *+т);
но по предположению при Ат —*¦ 0 и постоянных t, т »,(Дт, *-[-т) = 1 —«>(Дт, / —f-т) = I —Я(< + т)Дт + о(Дт),
следовательно,
v0 (т —f- Ат, 0 — v0 (т, 0=—®0(т, 0M*-f т) Дт+о(Дт);
это после почленного деления на Ат в пределе приводит к соотношению
*bgi!>=_X(* + T)«.(T,0 (5.2)
(причем существование производной, очевидно, попутно доказывается); отсюда же
и, следовательно,
1пг>„(т, О — 1пг>„(0, 0 = — $ k(t-\-u)dti;
Ь
а так как 1пг>#(0, 0 —0, то
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 71 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed