Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Мы, очевидно, имеем
(0 = Р (Я„ k) + Р (Я„ к), (2.3)
где Р {Н[, к) (/=1,2) означает вероятность двойного события: 1) реализуется гипотеза Я, и 2) в промежутке (0, t) поступает k вызовов. Очевидно, что Р {Я,, k\ есть вероятно ть такого положения вещей, когда из нашчх я ячеек какие-либо k содержат по одному вызову, а остальные л — k вообще вызовов не содержат, поэтому
Р(я1,*)=(")к (6)]* к (6)]"-*.
В силу формулы (2.2) и ординарности данного потока мы имеем при я—>-оо (б—>О) и постоянном k
[*e (6)]n-*=e-^‘n-*>=e-w ет = е~и[\ + 0(1)];
К (б)]*= [1 - -* (6)]* = [ 1 _+ о (6)]‘=
= (M)‘[l+o(l)] = ^L*[l+o(l)], и, следовательно,
Р(Я„*) =
= e.uW?n(n-\)..jn-k + \) +о(1)]
при я—> оо.
С другой стороны, Р (Я,, k), очевидно, не превосходит вероятности гипотезы Я,, т. е. того, что по меньшей мере одна из я ячеек содержит более одного вызова; так как аля отдельной ячейки вероятность содержать более одного вызова есть ф(6), то поэтому
Р(Я„ й)<л\|>(8) = *—<-0 (я—юо);
гаким образом, правая ча:ть равенства (2.3) при л—*оо имеет пределом
е->лМ1.
а так как левая часть (2.3) от п не зависит, то
= (* = 0, 1, ...).
Таким образом, для простейшэго потока число вызовов в промежутке длины t распределено по закону Пуассона с параметром Kt.
§ 3. Метод дифференциальных уравнений
В специальной литературе поставленная нами задача решается обычно другим методом, менее элементарным, но зато легко распространяемым на более сложные задачи. Рассмотрим теперь этот метод. Пусть t и х— любые положительные числа и пусть ? 0. Пусть kx — число вызовов в про-
межутке (0, 0» а —в промежутке (t, tf-1-т). Для того чтобы в промежутке (0, /-f-т) произошло k вызовов, необходимо и достаточно наступление одного из следующих
двойных событий: kl = k, kt = 0; kt = k—1, kt=\;
kx — k — 2, k1 = 2; kt = 0, kt=k. Но вероятности
событий kl — l и kt=m соответственно равны vt (t) и vm (т); а так как эти события взаимно независимы (поток без последействия!), то
vk (* + *)=vk (0 (*) +vk -. (0 (*) +
+ **-i(<K(TH----Ь *.(*)«>*(*)• (3.1)
Но при X—>0 мы имеем:
(*) — е-,'=\~\хАго (т); vt (х)= 1 — v„ (т) t|) (т) = Я.Т-)-о (т);
2 vk-i (*) vi М < 2 vi (т) = V = 0 М-t=t i=t
и, следовательно, (3.1) дает
vk (< + т)=vk (0 (1 — **) + (0 Xx + 0 «fc it-+1) -^ (0 (0 -vk (0] + o(l).
Это показывает, что функция vk(t) дифференцируема при любом <>0 и что
= —»*(<)] 2, •••); (3.2)
если положить для общности ®_,(0 = 0, то уравнение (3.2), как мы непосредственно убеждаемся из (2.2), имеет место и при 6=0.
Таким образом, для определения искомых функций vk(i) мы получили систему линейных дифференциальных уравнений (3.2). Эта система легко решается различными методами, из которых мы рассмотрим два наиболее поучительных для дальнейшего.
А. Метод замены искомых функций Положим
= (fe = 0, 1, 2, ...),
отсюда
*;(*) = <?-“[«;(0-4(0] (?=0, 1, 2, ...);
вставляя же эти выражения vk (t) и v'k (0 в уравнения (3.2), легко находим
в*(0=Ая*_,(0 (k—0, 1, 2, ...),
где по определению (0 = 0. Отсюда, интегрируя, находим t
МО — к* (0)=* J «*_,(*)<& (*=0, 1, 2, ...).
О
Очевидно, мы имеем при любом k^0
М°)=М°);
но по определению функций vk(t)
г,о(0)=1, *А(0) = 0 (k > 0);
поэтому и в„(0)=1, в4(0) = 0 (fe= 1, 2, ...), и мы находим при k 1
i
(3.3)
О
Замечая, что в силу (2.2) мы имеем по определению функций ик (0
18 математические методы теории массового обслуживания мы по формуле (3.3) рекурреитно находим
МО—А*
МО—
и, следовательно,
т. е. получаем прежнее решение задачи.
В. Метод производящих функций Положим
§ МО **=<&(<, *);
А=о
ряд в левой части этого равенства во всяком случае абсолютно сходится при |х|^1. Умножая на х* все члены уравнения (3.2) и суммируя по k от 0 до оо, мы легко находим
g-XJ^-.tO 1>Ф.
Л=о
ИЛИ
отсюда
1пФ(/, *)— 1пФ(0, х) — к(х—1)/; (3.4)
но легко видеть, что при любом х
Ф(0, *)=*/„(0) = 1,
поэтому (3.4) дает
ОО ?
ф (*, х) = ех(х~1) 1 = е~иеНх ===е~и^**•
4а»о
Сопоставляя это с определением функции Ф (/,*), мы непосредственно видим, что
vK(t) = e-u&? (* = 0,1,2,...),
т. е. снова приходим к прежнему решению задачи.
§ 4. Интенсивность простейшего потока
Полученные нами результаты показывают, что те три свойства (стационарность, отсутствие последействия, ординарность), которыми мы определили простейший поток, полностью характеризуют его структуру с точностью до значения параметра Я., которое может быть любым положительным числом. Два простейших потока могут отличаться друг от друга только значениями этого параметра.
