Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Ведущее звено, продолжая движение вправо, будет сжимать пружину до тех иор, пока сила сжатия P не сравняется с силой треипя покоя Rx. Лишь после этого произойдет срыв груза, причем сила трения мгновенно уменьшится до значения Rz- Ho сила сжатия пружины в первый момент начавшегося движения будет по-прежнему равна Ri, и, следовательно, равновесие сил, действующих на груз, нарушится.
Совместим с моментом срыва начало отсчета времени f = 0 и заметим, что в этот момент равны нулю как координата х, так и скорость х:
?(0) = 0, ?(0) = 0 (13.12)
(отсчет перемещений будем вести от места остановки груза).
214 ГЛ IV. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
Рассмотрим теперь процесс последующего движения. К некоторому моменту времени t > 0 длина пружины изменится на отрезок x — vot и соответственно сила упругости пружины уменьшится до значения
P(t) = Ri — с(х — v0t). (13.13)
Таким образом, дифференциальное уравнение движения груза запишется в виде
R\ — с(х — v0t) -R2 = тх,
или
Я,— яо
X -I- к-X — k2vJ -|— -----.
1 0 1 т
Решение этого уравнення, удовлетворяющее начальным условиям (13.12), имеет вид
V R, — R
х = v0t----Y sm kt ———- (I — cos kt). (13.14)
Первое слагаемое правой части выражает равномерное движение со скоростью ведущего звена, а остальные слагаемые — дополнительные колебания груза.
Скорость груза меняется но закону
к IR — R A х = v0 — va cos kt -J- ——-----— sin kt
и в некоторый момент времени может вновь обратиться в нуль. Условие новой остановки груза приводит к уравнению
kIR.— R9) vu — v0 cos M1 -I--------— sin M1 = О,
в котором t\ — время от момента срыва до момента новой остановки. Введем безразмерный параметр
с%
Теперь условие остановки принимает вид a sin kt\ = cos kt\ — I.
Решив это уравнение, найдем
2а 1л 1-а2
§ 13 СТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ 215
Модули полученных выражений всегда меньше единицы, так что из (13.15) всегда следует вещественпое значение t1. Получив это значение t\, можно но формуле (13.14) определить координату х груза в момент новой остановки, т. е. путь, пройденный грузом за время t\\
va R — Я 2аг
xi = Vi — -f sin kh + —c----- (1 — cos kti) = vOtI + -JT"
С учетом выражений (13.15) найдем по соотношению
(13.13) силу сжатия пружины в момент остановки:
P(t{) = 2R2-R1.
Отсюда видно, что P(t\)<R\ (так как R2<Rt). Следовательно, после остановки груз некоторое время будет оставаться на месте, пока сила сжатия пружины вновь не достигнет значения предельной сігльї трепня покоя. После этого произойдет новый срыв груза п начнется следующий цикл, полностью совпадающий с предыдущим. Таким образом, рассматриваемый процесс представляет собой стационарные автоколебания.
За время, в течение которого груз покоится, сила сжатия постепенно возрастает па величину
AP = R1-P (^)=2^-R2), шолпнтельпое УК
AP _ 2 (д1 - Ri)
и соответствующее дополнительное укорочение пружины составит
AZ =
с с
•)той же величине равен путь, пройденный ведущим звеном за время остановки груза. Следовательно, длительность состояния покоя груза равна
t2 - — = 2 (/?1 ~ Ri) = . (13.16)
!,о С!’о к
(Тот же результат можно найти из условия Vo(t\ + I2)-= Z1, выражающего равенство перемещений груза и ведущего звена за один полный цикл рассматриваемого процесса.)
Таким образом, период автоколебаний определяется формулой
T = t 1 +- h,
216 гл. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
для пользования которой сначала нужно найти t\ из выражений (13.15), а затем t2 из формулы (13.16).
Чем меньше скорость ведущего звена, тем более резко выражен процесс автоколебаний. Действительно, при малых значениях V0 безразмерный параметр а становится весьма большим и из выражения (13.15) следует приближенно
SinZrf1-^-O, cosUt1-+ — 1, т. е. /і =
Соответственно (13.16) это приводит к следующей формуле для периода автоколебаний:
т __ я + 2а к
Здесь ясно видно, что роль второго слагаемого в числителе возрастает с уменьшением скорости V0.
Законы движения при двух различных малых значениях V0 графически показаны на рпс. 13.7, а; на
Гис. 13,7
рис. 13.7, б показаны соответствующие законы изменения скорости. С уменьшением скорости период автоколебаний растет.
3. Метод энергетического баланса. Этот метод, которым мы пользовались при исследовании свободных колебаний систем с нелинейным трением (п. 2 § 2) позволяет получить приближенное решение задачи о стационарных автоколебаниях квазилинейных систем, движение которых описывается дифференциальным уравнением
§ 13 СТАЦИОНАРНЫЕ РЕ/КИМЫ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ 217
Здесь, как указывалось, f(qt q)—функция, состоящая из малых нелинейных членов. Поскольку эти члены малы, естественно принять к= к0 и искать решение в виде
q = A cos(k0t — ф), (13.18)
где А и ф — постояпные. В этой записи существенно предположение о том, что частота автоколебаний к P а в и а собственной частоте линеаризованной системы. Выражение (13.18) не может строго удовлетворить уравнению (13.17): этому мешает правая часть f(q, q), которая после подстановки (13.18) принимает вид