Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
224 ГЛ. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
Номер амплитуды п Значение безразмерной амплитуды сАп/Н„
по формуле (14 2) по уравнению (14.4)
0 О 0
1 3,440 3,433
2 5,952 5,940
3 7,787 7,771
4 9,127 9,109
5 10,106 10,086
6 10,821 10,799
7 11,344 11,320
8 11,725 11,701
9 12,003 11,979
10 12,207 12,182
11 12,356 12,331
12 12,464 12,439
13 12,544 12,518
14 12,602 12,576
15 12,644 12,618
OO 12,758 12,732
3. Метод энергетического баланса. При нахождении стационарных режимов в § 13 мы исходили нз того, что сила а/* совершает за один период работу, равную нулю. Здесь при исследовании переходных процессов необходимо учесть, что энергия системы за период изменяется, так как работа силы а/* отлична от нуля; вместо (13.20) имеем
2 Я/й0
— a Ak0 f / [A cos (k0t — <р), — Ak0 sin (k0t — cp)] X
о
X sin (k0t — ф) dt = AU. (14.6)
Здесь левая часть представляет собой работу названной силы за один период, а правая часть — приращение энергии системы за то же время. Это приращение можно определить по выражению
т = ^-с4р-~сАМ.
Подставляя его в уравнение энергетического баланса (14.6) и пользуясь формулой (13.21), получим
д А = (14.7)
h 2 Q
§ 14. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ
225
Будем рассматривать зависимость A=>A(t) как непрерывную функцию времени; тогда можно приближенно принять
к НА
Vl ал =
2 л dt
Вместо (14.7) получим дифференциальное уравнепие
dA _ Ф(4) п/ 0Ч
-ж - -щ-' (14-8)
совпадающее с укороченным уравнением (2.41). Интегрируя это дифференциальное уравнение при пачальном условии A=A (0) при t =• 0, найдем уравнение огибающей.
В качестве примера найдем переходный процесс для системы, рассмотренной в п. 2. В данном случае по формуле (13.21) находим
пЪк 4 Rn
ФИ =----------
и дифференциальное уравнение (14.8) приобретает впд dA _ 4Д0 — л ЪкаА dt 2nkQa *
Отсюда после интегрирования следует прежний результат (14.5), справедливый для случаев малого трения.
4. Метод медленно меняющихся амплитуд. Для определения переходного процесса по этому методу непосредственно используются выведенные в § 2 укороченные уравнения (2.41).
В качестве примера рассмотрим уравнение Ван дер Поля (13.30):
q + q=H(i-q2)q.
По первому из уравнений (2.42) находим ¦
2Я
ф(4) = -,1 J (1 — A2 cos21|)) (— A sin чр) sin чр =
о
= Hi-jT-)- (149)
Теперь составляем уравнение (2.41):
Я. Г. Пановко
226 гл. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ равновесия
и интегрируем его при начальном условии А = A0 при ?=-0:
А = 2А0(\ і - АЦе-^ + Al)~112.
Отсюда видно, как с течением времени амплитуда от на-чального значения А 0 постепенно приближается к стационарному значению A= 2 (см. также стр. 221).
Полученное выражение достаточно полно характеризует переходный процесс и, в частности, темп его приближения к стационарному режиму. Поэтому обычно опускают исследование изменения фазы ср (впрочем, это сделать совсем не трудно; в рассматриваемой задаче можно
найти, что ф =0).
5. Метод точечных отображений. Примеры, разобранные в пп. 2—4, показывают, что для описания колебательных процессов в системах с одной степенью свободы не обязательно знать закон движения 4 = q{t)', практически достаточны рекуррентные соотношения между последовательными амплитудами (см., например, (14.2)). Как мы видели, для того чтобы связать значения двух последовательных амплитуд, нужно выделить типовой промежуток времени, на концах которого отклонения системы достигают максимума, и скорости равны нулю. Далее изучается движение на этом промежутке времени и определяется амплитуда А в конце промежутка через амплитуду А в начале, т. е. образуется соотношение
A=HA), (14.10)
которое можно рассматривать как функциональную зависимость А от А. Для зависимости (14.2) график (14.10) показан на рис. 14.1, а. В данном случае график представляет собой прямую, потому что на типовом промежутке временн движение механической системы описывается линейными дифференциальными уравнениями. В более общем случае график (14.10) оказывается криволинейным, как это показано на рис. '14.1,6.
Для того чтобы найти амплитуду стационарного режима колебаний (соответствующего предельному циклу), нужно в (14.10) положить A = A и решить уравнение
A = f (А). (14.11)
Графическое решение этого уравнения показано на рпс. 14.1,6. Здесь кроме графика правой части (14.11), соответствующего рис. 14.1, б, проведена биссектриса ко-
§ 14. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ 227
ординатного угла, служащая графиком левой части (14.11). Абсцисса Acr точки пересечения определяет искомую амплитуду стационарного режима.
Такие графики позволяют не только найти амплитуду стационарного режима, по и найти переходный процесс. Для этого пользуются построением Кенигса — Ламерея,
в г
Рис. 14.1
которое состоит в следующем. Задавшись первоначальным значением амплитуды Ao, нужно отложить его на оси абсцисс, а затем построить ломаную Ao, Al, Bi, А2, B2, ..., как это показано на рис. 14.1, г для случая, когда начальное отклонение мало (Л0<ЛСТ). Как видно, эта ломаная в конце концов приводит к точке пересечения графиков — стационарному режиму. Можно убедиться, что если А о > Act, то переходный процесс постепенно приближается к тому же стационарному режиму.
