Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
§ 15. Явления синхронизации
1. Вступительные замечания. Всюду выше в этой главе обсуждались явления, происходящие в автономных системах, когда движение происходит под действием сил, зависящих только от самого движения. Определенный интерес представляют свойства движения автоколебательной системы, если на нее действует некоторая заданная вынуждающая сила.
Рассматривая ниже в п. 2 случай действия гармонической вынуждающей силы, мы установим, что при достаточной близости периодов вынуждающей силы и автоколебаний происходит синхронизация — движение происходит с периодом вынуждающей силы, а автоколебательная составляющая движения оказывается как бы п о д а в л е-и-н о й; существенно, что синхронизация происходит при сколь угодно малой амплитуде вынуждающей силы. Иногда явление синхронизации называют захватыванием.
В п. 3 мы рассмотрим иной важный случай синхронизации, когда вынуждающая сила действует не на автоколебательную систему, а на нелинейную систему, способную совершать «убегающие» движения.
2. Синхронизация квазилинейной автоколебательной системы. Рассмотрим случай, когда на квазилинейную автоколебательную систему с одной степенью свободы действует гармоническая вынуждающая сила, причем частота со силы близка к собственной частоте ко линеаризованной системы. Дифференциальное уравнение задачи имеет вид
q + Кч -= / (?><?) + -J- sin at. (15.1)
Поставим задачу определения условий существования периодических движений с частотой возмущающей силы со.
Для того чтобы воспользоваться ранее полученными соотношениями, введем коэффициент расстройки
г = 4--1, (15.2)
О)2
232 гл. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
т. е. примем
Jt20 = (О2 (1 + є),
считая, что значение є мало по сравнению с единицей. Теперь можно переписать уравнение (15.1) в виде
q + (0? = / (q, q) — єсо2q + sin (Oi1 (15.3)
и, пользуясь основной идеей метода медленно меняющихся амплитуд, вновь будем разыскивать решение в виде (2.34), учитывая прежнее условие (2.35). При этом мы придем к соотношениям типа (2.39), но — соответственно правой части уравнения (15.3)— опи будут иметь несколько иной вид:
А = — — / [A cos ((Oi — ф), — ^4(0 sin ((Oi — ф)] sin (ші — ф)+
P
+ 8(0 А Sm ((0І — ф) COS ((0І — ф) — — Sm (0І sin ((0І — ф),
1
Ф = / [A cos ((Oi — ф), — ^4(0 sin ((Oi — ф)] cos ((Oi — ф) —
P
— 8(0 COS2 ((0І — ф) + sin (0І COS ((0І — ф)
Соответственно вместо укороченных уравнений типа (2.41) получится
\ __ Ф (А) ___ P cos ф
2тссо 2аы ’
• 1FM) ecu P sin ф ( • )
2 тсЛсо 2 2аАы
В рассматриваемом случае стационарного режима обе эти производные должны быть равны нулю:
ф (А) _ P COS ф ___ n xSr (А)_______ЄСО і>8ІПф _ п .. Г г,
2тссо 2аы ’ 2лАы 2 2аАи> -K-)
Наибольший интерес представляет значение амплитуды А, Для его определения исключим фазу <р из уравнений (15.5); тогда получим
Ф2 (A) + [Y (А) - яЛ(0ає]2 = (iJp)2. (15.6)
График получаемой отсюда зависимости А = А (є) иногда называют резонансной кривой.
§ 15. ЯВЛЕНИЯ СИНХРОНИЗАЦИИ
233
Вернемся к первому примеру п. 2 § 13, когда на систему действует вынуждающая сила P sin соt, частота которой близка к собственной частоте линеаризованной си-
стемы. В соответствии с (13.7) (см. также рис. 13.5, а) для этой системы
Ъ ¦ Rn /(?> ?)= ——9 +-J-Signql
пЬи> л а а
и по формулам (2.42) находим Ф(4) = -1P (А) = 0.
Следовательно, соотношение (15.6) принимает вид
Удобно ввести безразмерные величины є
P-P —-
* AR0'
Тогда получим
Отсюда находим
(1 - 4*)2 + (е*А*Г = Pl
А* —
1 ±У Р\( 1 + є*)2-є
1 + є2 ' *
На рис. 15.1 показаны графики зависимостей безразмерной амплитуды Ait. от параметра расстройки є* при
234
ГЛ. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
трех значениях безразмерной силы: P* = 0,5; 1; 2. Заштрихованной области соответствуют неустойчивые решения, когда синхронизация не осуществляется (само исследование устойчивости здесь опущено).
3. Синхронизация маятника. Рассмотрим маятник с вертикально колеблющейся точкой подвеса (см. рис. 9.2, а), движение которой задано законом
у = A sin at. (15.7)
В главе III мы исследовали малые колебания такого
маятника около положения равновесия; в частности, отмечалось, что в этой системе нижнее положение равно-
весия может оказаться неустойчивым, а верхнее положение — устойчивым.
Здесь мы не будем заниматься изучением малых колебаний, а исследуем возможность непрерывного вращения маятника, поддерживаемого колебаниями оси. Вращение со средней угловой скоростью а, равной частоте колебаний оси, и представляет явление синхронизации в рассматриваемой системе: возмущающее воздействие (колебания оси) «навязывает» свой ритм движению системы.
Таким образом, предполагаемый стационарный синхронизированный режим описывается законом
Ф = м? — а, (15.8)
где ф — угол отклонения маятника, а — начальный сдвиг фаз.
Обратимся к составлению дифференциального уравнения относительного движения, а затем с помощью этого уравнения выясним, возможен ли режим движения
