Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
6. Устойчивость стационарных режимов. Каждый из разобранных выше способов определения переходных процессов дает непосредственную ВОЗМОЖНОСТЬ выяснить устойчивость (неустойчивость) стационарного режима или состояния равновесия.
Прежде всего остановимся на системе с нелинейным трением, характеристика которого показана на рис. 13.5, а. Для этой системы стационарная амплитуда определяется выражением (13.11) в виде Act =Otfi0/[с(1 — (5)], а пері*
228
ГЛ. IV, УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
реходный процесс — соотношением (14.2). Для того чтобы проверить устойчивость стационарного режима, положим, что он некоторым образом нарушен, так что амплитуда колебаний приобрела значение Acr + Ao, где Ao — начальное возмущение стационарной амплитуды. Тогда (14.2) можно записать в виде
А„ + А і => р (4СТ + До) + aRoIc,
где Ai — возмущение последующей амплитуды. В дальнейшем движении амплитуды колебаний будут подчиняться соотношению
^4 ст + An =^(4,.,, + A„_i)+ aRo/c, (14.12)
в котором А„_1 и An — два последовательных значения возмущения амплитуды. Из (14.12) находим
An 1 рАп—і*
Отсюда видно, что поскольку ^ < 1, то An<A„-i; убывание возмущений означает, что стационарный режим устойчив.
Если для той же системы решение найдено методом точечных отображений, то об устойчивости стационарного режима могкно судить с помощью построения Кениг-са—Ламерея (см. рис. 14.2) в окрестности абсциссы Лст.
Здесь непосредственно видно, что возмущенное движение постепенно приближается к движению по предельному циклу.
Для системы с двумя продельными циклами (см. рис. 13.4, а) построение Кенигса — Ламерея в принципе
§ 14. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ
229
выглядит, как показано на рис. 14.3. Вид ломаных отчетливо обнаруживает устойчивость первого стационарного режима и неустойчивость второго.
В некоторых случаях имеет смысл изучать не последовательность амплитуд, а последовательность (также дискретную) максимальных значений скорости, такую, как, например, была найдена выше в виде (13.6). Применительно к этой зависимости возмущенное движение будет описываться соотношением
л котором A„-i и An — последовательные значения возмущения скорости q+. Учитывая найденное выше значение q+, из записанного соотношения следует
т. е. An < An-I — стационарный режим устойчив.
Если стационарный режим найден энергетическим методом или методом Ван дер Поля из условия Ф(Л) = 0 (см. выражение (2.42)), то наряду с этим режимом нужно рассмотреть возмущенный режим, т. е. смежное движение, характеризуемое амплитудами Лст + бЛ; здесь 6Л — вариация амплитуды, являющаяся некоторой функцией времени. Характер изменения 8.4 с течением времени позволяет судить об устойчивости исследуемого режима. Поскольку возмущенный режим описывается соотношением (14.8),— конечно, с заменой А на Aot -H б А,— имеем
Ф(Лст + б4)» Ф(4СТ)+Ф'(4СТ)64 =Ф'(4СТ)64,
поскольку Ф (^4ст) = 0.
Таким образом, соотношение (14.13) принимает вид
d(8A) _ Ф' (Act) 6А
q+ + An = (q+ + Ап-г) e~znh/h* +S/a,
An = An-Je-2jlftZft*,
Заметим, что
(14.13)
dt
2л kt
о
Отсюда окончательно находим
Ф'(^ст)* б А = б А0е 21lftO а
230
ГЛ IV. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
где 6^0 — начальное возмущение амплитуды стационарного режима. Если
Ф'(4СТ)<0, (14.14)
то возмущения амплитуды будут асимптотически стремиться к нулю, т. е. движение будет приближаться к нарушенному стационарному режиму и последний является устойчивым. Если Же Ф'(Лст)>0, то возмущения будут возрастать с течением времени и движение будет все больше отклоняться от исследуемого стационарного режима; в этом случае стационарный режим неустойчив.
Таким образом, соотношение (14.14) представляет собой условие устойчивости стационарного режима.
Так, например, для системы, описываемой уравнением Ван дер Поля (13.30), было найдено выражение Ф(^4) в
виде (14.9). Следовательно, Ф' (А) = pt (l—ПРИ
A = Aot = 2 имеем Ф'(2)= — 2}хя < 0, т. е. условие устойчивости (14.14) выполнено — найденный предельный цикл устойчив. Иной результат получится, если дифференциальное уравнение движения механической системы имеет вид
aq — bq + R0 sign q + cq = 0. (14.15)
В отличие от условий примера, рассмотренного в начале п. 2 § 13 (см. уравнение (13.5)), в данном случае дестабилизирующей является сила отрицательного вязкого трения, а сила кулонова трения демпфирует колебания.
Приводя уравнение (14.15) к виду (2.32), получим
л, \ Ь ' R0-
/(?>?) = ч — -f- S1?n g'-
теперь по первой из формул (2.42) находим
яЪк AR
ф I А) =---2- А------2.
' ' а а
Приравняв этот результат нулю, определим амплитуду стационарных автоколебаний:
А — ________9
Лст “ JtiA-
Однако этот режим неустойчивый, так как производная Ф' (А„) не удовлетворяет условию (14.14):
nbft„
Ф' (Лст) = -JL > о.
§ 15. ЯВЛЕНИЯ СИНХРОНИЗАЦИИ
231
При любом возмущении такого стационарного режима система либо будет стремиться к устойчивому в малом состоянию равновесия (Л->0), либо неограниченно удаляться от стационарного режима (А °°)—в зависимости от знака начального возмущения.
