Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пановко Я.Г. -> "Введение в теорию механических колебаний" -> 67

Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.

Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний — Москва, 1980. — 252 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriumehkolebaniy1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 .. 73 >> Следующая


(15.8). В уравнение моментов относительно колеблющейся ОСИ введем момент СИЛЫ тяжести — TOgZ Sin ф и

момент линейного трения —Ьф. Кроме того, в уравнение моментов следует ввести также момент переносной силы инерции. Эта сила и является причиной синхронизации; она направлена по вертикали, и ее проекция на ось у равна

—ту = тАа2 sin at.

Момент переносной силы инерции относительно оси маятника составляет тАаЧsin ф sin at. Таким образом, дифференциальное уравнение относительного движения
§ 16. СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ

235

маятника запишется в виде

ml1 ф = — mgl sin ф — Ьф + тАаЧ sin ф sin соt. (15.9)

Для проверки возможности синхронизированного вращения маятника попробуем подставить (15.8) в дифференциальное уравнение (15.9):

ml sin(coi — а) (Лео2 sin соt — g)= Ьы. (15.10) Так как здесь левая часть переменна, а правая часть постоянна, то полученное соотношение тождественно не удовлетворяется. Это означает, что функция (15.8) не является точным решением дифференциального уравнения (15.9), т. е. что равномерное вращение маятника невозможно.

Однако можно принять (15.8) в качестве приближенного решения задачи и, отказавшись от требования о тождественном выполнении равенства (15.9), ограничиться более слабым требованием о выполнении его в среднем. Именно в этом можно видеть применение той же идеи, которая лежит в основе метода медленно меняющихся амплитуд. Найдя среднее значение левой части соотношения (15.10)

2Я/о)

-m^- J sin (coi — a) (Aa2 sin соt — g)dt = w^m cos а,

о

приравняем его правой части того же соотношения. После этого получим

cosa (15-11) Выражение (15.11) позволяет найти сдвиг фаз; но еще более важно, что из этого выражения следует условие синхронизации (захватывания)

(‘5-12)

Как видно, чем больше дебаланс маятника ml и максимальная скорость А со колебаний оси маятника, тем легче осуществляется синхронизация. Важный фактор, который может воспрепятствовать синхронизации,— это трение в системе, характеризуемое коэффициентом Ь; чем больше трение, тем труднее достигается синхронизация.
236 ГЛ. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ

§ 16. Странные аттракторы

1. Генераторы стохастичности. До недавнего времени считалось, что единственной причиной случайных колебаний механических систем служат те или иные внешние («входные») воздействия — случайные вынуждающие силы (см., например, стр. 144—148), случайное кинематическое возбуждение, случайное изменение параметров системы в процессе ее движения и т. п. При этом механическая система представляется как некий трансформатор стохастичности, преобразующий случайность на входе в случайность на выходе; полагается как бы очевидным, что с исчезновением случайности на входе и стремлени-1 ем к нулю дисперсии входного воздействия исчезает случайность и на выходе, а дисперсия на выходе также стремится к нулю. Соответственно изучение случайных колебаний сводится к определению связи между вероятностными характеристиками выхода с вероятностными характеристиками входа (см., например, соотношение (6.66))*).

Однако совсем недавно выяснилось, что иногда случайные колебания могут происходить в полностью детерминированных механических системах, которые таким образом оказываются уже не трансформаторами, а генераторами стохастичности. Колебания в таких системах непредсказуемы в точном смысле этого слова, но допускают описание с помощью вероятностных характеристик.

Возникновение стохастичности в детерминированной системе — поразительный факт, возможность которого трудно согласуется с традиционными представлениями. Тем не менее эта возможность твердо установлена как средствами строгой теории, так и убедительными экспериментами; выяснено также, в каких случаях механическая система может оказаться генератором стохастичности (отметим, в частности, что генераторы стохастичности — это всегда нелинейные системы, но, разумеется, не любые). Обнаружение генераторов стохастичности по его значению для науки и практики справедливо уподобляют открытию регулярных автоколебаний.

*) Такая трактовка возникновения стохастичности относится к динамическим системам любой природы — электромеханическим, радиотехническим, биологическим, экономическим и т. п.
§ 16. СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ

237

С появлением нового понятия несколько расширились представления о типах аттракторов в фазовом пространстве. Прежде считалось, что в фазовом пространстве любой динамической (в частности механической) системы могут существовать аттракторы только двух описанных выше типов — устойчивые особые точки (устойчивый фокус, устойчивый узел) и устойчивые предельные циклы. Теперь установлено, что наряду с ними в некоторых случаях существуют аттракторы особого рода — не точки или линии, а некоторые сплошные зоны фазового пространства, к которым притягиваются фазовые траектории, находящиеся в окрестности таких зон; эти зоны принято называть странными аттракторами.

Фазовые траектории, начинающиеся в области притяжения странного аттрактора, постепенно приближаются к нему, причем изображающая точка, попав в зону странного аттрактора, далее уже не выходит из нее, но вместо повторяющегося движения, типичного для предельного цикла, совершает в этой зоне хаотическое движение, лишенное свойства повторяемости. В понятии странного аттрактора причудливо сочетаются свойства неустойчивости и устойчивости. С одной стороны, движение изображающей точки в зоне странного аттрактора неустойчиво, с другой стороны, условно можно сказать, что система в зоне странного аттрактора обладает свойством устойчивости в целом: если после некоторого на-
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 .. 73 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed