Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
4 71 п=0
При t — оо все экспоненты обращаются в нуль и
<4/М0)Х - ± = [OXJ2. (5.2.111)
Уравнение Фоккера — Планка 179
При t — 0, используя тождество из теории дзета-функций Римана
<*(0*(0)>s - | + $1] (2л + О"4 = у = <*?>, (5.2.112)
получаем
2(2л+1Г = ^4. (5.2.113)
л=0
в) Процесс Орнштейна — Уленбека
Как и в разд. 3.8.4, уравнение Фоккера — Планка имеет вид
д,р(х, t) = дх[кхр(х, О] + | Dolpix, t) . (5.2.114)
Уравнение для собственных функций имеет вид
dlQx ~dxQx+%Qi = 0, (5.2.115)
и после замены
У = х\/ЩЪ (5.2.116)
dJQx - 2ydyQx + (2№Qx = 0 ¦ (5-2-117)
переходит в дифференциальное уравнение для эрмитовых полиномов
[5.6]. Можно записать
Qд = (2”л!)-1/2Н^да , (5.2.118)
где
к = пк\ (5.2.119)
эти решения нормируются так же, как в (5.2.79—81).
Стационарное решение, как и раньше, имеет вид
ps(x) = (k/KDY'2exp (- kx2/D) (5.2.120)
а общее решение может быть представлено в форме
р(х, о = S VjkKl^n'.Kiy)) exp (-kx2jD)Н„(х^/Щ>)е-^А„, (5.2.121)
л
где
-4.= J dx р(х, 0)Н„(xVkjD)V"n\)-112 . (5.2.122)
Этот результат можно также получить непосредственно из решения в явном виде для условной вероятности (разд. 3.8.4) с использованием
180 Глава 5
производящих функций для полиномов Эрмита. Временной масштаб релаксации к стационарному состоянию определяется собственными значениями
Х„ = пк. (5.2.123)
Здесь к есть константа скорости детерминированной релаксации и определяет таким образом самое медленное время релаксации. Используя (5.2.90), можно непосредственно вычислить автокорреляционную функцию. Согласно результатам, полученным в [5.6],
(5.2.124)
так что из свойства ортогональности следует, что лишь при собственной функции, соответствующей п = 1, стоит отличный от нуля коэффициент. Мы вычисляем
j" xPh(x)dx = jf VkKlnD) exp (—kx2ID)(2xVk/D)x (5.2.125)
= ^Щк,
и
<x(0^0)>,=^e-*', (5.2.126)
как мы уже нашли ранее (разд. 3.8.4, 4.4.4).
г) Рэлеевский процесс
Будем использовать модель амплитудных флуктуаций, развитую в разд. 4.4.5. Уравнение Фоккера — Планка имеет вид
д,р{х, t) = дх[(ух - jijx)p{x, г)] + Цд1р{х, 0 , (5.2.127)
где
(* = ?2/2. (5.2.128)
Нормированное стационарное решение на интервале (0, оо) имеет вид
Ps(x) = (yx/fi) exp (- ух212ц). (5.2.129)
Уравнение для собственных функций можно записать в форме dlQx + (1/* - yx!ii)dxQx + Wn)Qx = 0 . (5.2.130)
Вводя
Z = Jк2у!2ц (5.2.131)
Уравнение Фоккера — Планка 181
получим уравнение
zd2Qx + (1 ~ z)d.Qk + UI2?)Qi = 0 , (5.2.132)
которое переходит в дифференциальное уравнение для полиномов Ла-герра [5.6], если
1 = 2пу. (5.2.133)
Можно записать (в нормированной форме)
Q,(x) = L„(yx2/2fi). (5.2.134)
Отсюда условная вероятность равна
-'*• « - 5 7,ехр Pi)L-Ш L- ©е~“” • <«•'»>
Функцию автокорреляции можно рассчитать так же, как в (5.2.90):
(x(t)x( 0)) = ?
л-0
Используя
ехр(—2 nyt). (5.2.136)
J dz z“e_zL„(z) ¦= (- 1 уГ(а + 1 )Q , (5.2.137)
находим
(x(t)x(O)) = ^ ? К4)2eXp(- 2nyt). (5.2.138)
у «-О 4 '/7/
5.2.7. ВРЕМЯ ДОСТИЖЕНИЯ ГРАНИЦЫ ДЛЯ СЛУЧАЯ ОДНОРОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Нередко возникает следующая задача: как долго частица, положение которой описывается уравнением Фоккера — Планка, будет оставаться в заданном интервале значений х. Решение этой задачи можно получить с помощью обратного уравнения Фоккера — Планка, как показано в разд. 3.6.
о) Две поглощающие границы
Пусть в начальный момент t = 0 частица имеет координату х. Нас интересует, как долго она будет находиться на интервале (а, Ь), который содержит х:
а< х <?. (5.2.139)
182 Глава 5
Представим себе, что в точках а и Ь имеют место поглощающие границы, так что частица, попавшая в эти точки, удаляется из системы. Другими словами, если частица находится на интервале (а , Ь), то она пока еще не выходила за его пределы.