Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, в уравнениях первого приближения (23 .20); (23.21) Sl будет определяться вполне понятной физической величиной ц'.
§ 25. Исследование уравнений первого приближения
Нам предстоит исследовать уравнения ( 23. 20) и (23.21). JJjfH этого рас шеп им их на следующие гри уравнении я:
134dM_ 5,Ц,УЧМ,-М) =U Ic1 МЇ(.М.»М) '
ё1 = їй 3-І. (25-2)
Hs- їй еЛ . <25-3>
1. Поскольку Me-M >O ,TocM/dt>o , если ьЛ<о1<о, и наоборот. Так как, согласно (23.7),
dM __ M.Q de
d?-"J^Tpr TT ' <25-4>
то знак dC/di совпадет со знаком S^ (O1b. dM/d^ = О ,
если S1 =Ot CO2 =O или S1 =O, ^O, или S^O, ssOi или Mp^H , т.е. когда ^ =O.
2. Уравнение (25Д) допускает ^интегрирование. Действительно, введя обозначение
A-SV^ll (25.5)
г- 2с« M'. •
имеем
+2 (25.6)
ИЛИ
Jt-Є* + 2 BnO-ZTer )*= <W . (25.7)
Полагая ___
InU-ji-eM ~-h'QX % (25.8)
пол>чим вместо (25.7) в глубоком приближении выражение
JT^r = }>* , (25.9)
гле - значение экедеHTpfCHTeта в начальном времени.
1353. Из (23.1) и (23.5) следует
M4TT = M1e-^v
(25ДО)
где ,
-г Vа
V у=— (25Д1)
- средняя от квадрата скорости.
Если ввести "вектор состояния"
- ~ і
F=M + Tp= . _ (25,12)
то в фазовом пространстве векторов Ми k конец вектора F описывает эллипс
<25дз>
4. Из (25.2) и (25.3) следует, что орбита и жестко связанная с ней орбитальная система координат x'y'z' вращаются как твердое тело вокруг закрепленной точки с угловой скоростью
tf CatS1SJytVi (Mb)Vi і у\.ц< ?
V VA ^ +
+ по W ІМІЙ , л ^ S-
- 2M« C1-cm^ ¦-
VAa
ЧМ5М:сЧ Iw 2 2Н (25Д4-|,
136где Qp - единичный вектор, совпадающий с и могущий
быть использованным как единичный вектор вектор-параметра * •
Имея в виду, что
AitSl- W1S1 = Т(Ям 1? fa) -3 C?eA) (Sc4), (25.15)
И.-Н)0?Л)-(0?м>гм , (25.16) преобразуем выражение (25Д4) к виду
4mm.(vum.)1c» --+? (*.-«к5еЛ) чйём)еЛч
2ММ;(М.»М)с» 4 м 4 • Л »"г
¦ f* <а 5) 4(.5- s.) - )(S.a )} ,,е., 7»
13 75. Из (25.2) и (25.14) вытекает, что вектор Q прецессирует с угловой скоростью
О VHftS) / Н,сдл Z
м~ "імм.Чм.ч-м)с» Im cA+
(25.18)
В (25.18) член
есть прецессия Лензе - Тирринга (3.34) .
Если в (25.18) опустить первое слагаемое, то получим
Это - прецессия, найденная Рябушко при исследовании задачи двух вращающихся тел (см. (22,2)).
Формулу (25.20) можно представить также в виде
Xr Ъ Jrw? л , . зт> /Уйч
5 Г* (25.21)
- ^ CS.M )СЬ*М)}
В случае, когда в начальный момент времени собствен ный момент пробного тела SeO , то из (25.18) имеем
il ,r ~ ~ MsMe1C2 v. * " 7m. V\a M ~
¦tT- Vti0M'
138-_1_(25.22)
Следовательно, при учете в Л^ поправки, пропорциональной , возникает зависимость угловой скорости прецессии от угла наклона орбиты і (в данном случае угол между векторами M и Se )•
6. Найдем связь между угловой скоростью
Я.
и углами Эйлера 5 , ^ и Kf которые определяют ориентацию подвижной системы координат X' , у' , относительно некоторой специальной системы координат X^1 Y^1
Z^ так, как мы это делали в конце 8 3, т.е. согласно формуле (3.42):
Л« 9^2' • (25.23)
Перепишем (25.17) с учетом (25.18). Тогда
я= ^xiu
MjM05C2 w.M'M'c
(25-24)
Направляя ось Z^ по Л м и учитывая то обстоятельство, что совпадает по направлению с M , имеем
В = , (25.25)
I^0 (25.20)
139л эУсса*,)*-cag4f> ^ з^и зWt^
® 4М.СМ-А!.)1 с1 + VAVc1 KleMiWc**
(25.27)
—*
Так как ?5 является единичным вектором, направленным по линии узлов к восходящему узлу орбиты, введем также единичный вектор (Ц , перпендикулярный К ЛИДИИ узлов в плоскости орбиты и образующий вместе С 6М и Qf правую подвижную тройку единичных фекторов , і Единичные векторы и связаны с
и Q^ формулами;
ёА WA $ + C3 , ^-**??+^? , (25.28)
Подставляя (25.28) в (25.27), имеем
дУ ((су 2 g)»cOii )
4 VU CM + M^1Ca
M3Mlc2 VWe М* Mjc
¦ 4г—- sli^MXS.M)} ,(25.,9
140•t
где COи - проекции 60 на направлении и C1.
^ В сл>2ае§ когда совпадут направления векторов и) , M и S0 , мы можем найти смещение перигелия за период T і
до, (25.30)
"aJc Q(A-C1)C1 Q(A-^)Mcl1 * И J-
Это выражение является обобщением формулы (3.48).
Обращает на себя внимание чередование знаков слагаемых в (25.30) в зависимости от того, в какой степени сюда входит собственный угловой момент. ^
В заключение заметим, что угловая скорость Sl , к?ж это в^идно из (25.24), лежит в плоскости векторов
и M , напоминая в этом отношении угловую скорость трехгранника Френе (9.3), которая лежит в плоскости, образуемой векторами и 6 .
8 26. Другие формы уравнений первого приближения
Можно найти и другие формы уравнений первого приближения (23.20) и (23.21), которые окажутся полезными при изучении задачи двух вращающихся тел.
Исходим из среднего значения гамильтониана H , которое нетрудно получить из (24.3) и (24.13) в виде
1 Wt
.LS!? + J^Wg.ftK^ (.Sm )
м'м m. М? M11^4'
141+ {cS'sJ-^ts-fiKs,«)^ (26.1)
Теперь запишем уравнения первого приближения в так называемых элементах Делоне /16, 51/ VA0 , M , M-^» ? , ^ и Ъ . Здесь J и 8 - углы Эйлера (или аргумент перигея и долгота восходящего узла), а что касается ? ,то она является новой переменной, причем "быстрой" переменной, которая связана с кеплеровым элементом T ( T - момент прохождения через перигей) соотношением