Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.
Скачать (прямая ссылка):
О . (30.6)
1
если в начальный момент времени «О. Из уравнения же (29.12) следует
. <30-7>
что означает: вопреки (ЗО.6) вращение тела 0 t * приводит во вращение пробное тела * /в, с.227/. Далее из (ЗО,7) имеем интеграл движения
COm ШІ ^tui , (30-8)
где
Здесь - начальное значение радиус-вектора Y . Если орбита пробного тела лежит в экваториальной плоскости центрального тела 0B01 то (ЗО,8) запишется как
(30.9)
171 -r / , X С / < і- ) a>. (/)г= z* si ( г* " г* Л (ЗОДО)
Отсюда следует, что собственное вращение пробного тела, движущегося по эллиптической орбите, происходит неравномерно и периодично, а в случае круговой орбиты оно отсутствует. Если усреднить (ЗОДО) по ньютонову эллипсу, то имеем ^
^fs=Irs* (ї?"«^-«1)^). (ЗОН)
Формулы (ЗОДО) и (ЗОД1) были получены в работах /9, с.77; 58, с.92/.
Если пользоваться уравнением Брумберга (30.2), то получится вместо (30.8) интеграл движения
Zoe= - АЛИ. ^iUi-+CMt. (зо. 12)
/Vi С
В заключение можно сказать, что вопрос об определении вращательного импульса и другие вопросы, связанные с уравнением вращательного движения, требуют дальнейшего изучения. При этом должны быть учтены и соображения! излагаемые в работах, основанных на иных подходах к проблеме движения тел в ОТО, чем в методах Фока и Инфельда /71, 72/. Глава в
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ С УЧЕТОМ ВНУТРЕННЕЙ СТРУКТУРЫ, ЗАРЯДА, МАГНИТНОГО МОМЕНТА И СОБСТВЕННОГО ЄРАШЕНИЯ
Релятивистские уравнения движения системы заряженных, магнитных и вращающихся точечных масс получены на основе метода Инфельда в работах Рябушко /3* $9/. В этой главе будут выведены релятивистски? уравнения поступательного и вращательного движений системы конечных масс произвольной формы с учетом внутренней структуры, заряда, магнитного момента и собственного вращения вторым методом Фока /60-62/.
в 31. Уравнения поступательного движения в интегральной форме
Исходим из уравнений гравитации н электродинамики /4, С.220/
Ol Д)
Vjb F0 « Jp , (31.2)
F«>tr V+Afi- r+A* f (Зі.а)
где F^ - тензор электромагнитного поля; V^t - оператор ковариантного дифференцирования; TJ*-4— вектор тока, 4-потенциал электромагнитного поля. Как обычно, греческие индексы пробегают значения ОД,2,3, а латинские -
173 1,2.3. Уравнения поступательного движения выводятся из интегральных соотношений /4, с.384/
S2 r?r»(Jx)l«o. (зі 4)
Решение уравнений поля ищется в гармонической системе координат _
IprfT (31.G)
Начальные члены разложений компонент метрического тензора имеют вид /4, с.328/
IlUl + ..., (31.6)
Тензор энергии-импульса /4, сДбО/
T"" » k f , <31-7)
где Мм* - тензор масс; тензор энергии-импульса
электромагнитного поля.
Далее /4, С.149, 325/,
с»Мвв*5>И* |iC^vt-* n-UW...,
C1M6 «yyjHltC^Vn-u)]- , (31.8)
сЧ*4*«р ViVll- ;
Здесь, как и в главе 3, ? - плотность массы; П -упругая энергия единицы массы; - тензор напряжений.
Потенциал Ац и тензор электромегннгного поля V-^jtсвязаны с обычными потенциалами ф , А и напряженностями
174 электрического и магнитного полей 6 и VA следующим образом:
At = С-^Ч>, А) , А*-(г ,
О с. E4 - сЕа - с Е»
с E4 О н» -Hi
-н» 0 H4
CE1 «а -H4 0
(31ДО)
(31.11)
Уравнения гравитационного поля (см. (11.5) - (11.7))
дают
д U = - А-угх? , (31.12)
Л U I = -^TtfVi , (31.13)
AU<T**) , (31.14)
где U - ньютонов потенциал; U^- вектор-потенциал гравитационного поля, a U* - обобщенный ньютонов потенциал. При получении приближенных уравнений электродинамики считаем, что разложение A0 по степеням ?/^ начинается с величин второго порядка, а потенциал А - с величин третьего порядка ( % - порядок скоростей тел). Комбинируя уравнения Максвелла (31.2) с условиями Лоренца
Va Л* = о
и соотношением /4, С.208/
Cvy^ vv) А ^-Я^^А ,
л*
получим удобные для определения Д уравнения: U * _ J" *
1V4
(31.15)
(31.16)
(31.17)
175 Напомним, что й «
* ____L, dL
2 =4^A /TfdX0 » (31.18)
где Jp9 ~ плотность заряда.
Для наших целей достаточно положить
J0*4*J>t (/- , (31.19)
jr»ei?|« . (31.20)
Здесь ~ обычный трехмерный ток. Тогда из (31,17) находим аналогичные (31,12) - (31.14) уравнения.*
А* . <31'21>
, (3122>
-Ь- ,зх'23)
где J0/с совпадает с обучцым куло нове ким потенциалом j <4* - обобщенный кулоіювсний потенциал, который помимо А включает и релятивистские добавки. Учитывая, что
, (31 24)
разделим (31Д4) на два уравнения:
AUj- (31.26)
»
Д О * в - 4тх C9 ,
(31.25)
176 Д Ue* ^ - 4Vr ^e • (31.27)
При этом
Uw-Uf +и*. (31.28)
Потенциал Um вычислялся в главе 3 и равен, согласно
где W и Lffeb являются решениями уравнений AWeU,
A UlPf *-4vrx (G-J)) .
Аналогично запишем
dtVg ,
Теперь расходимости тензора массы и тензора электромагнитного поля запишутся как
(31.29)
(31.30)
(31.31)
(31.32)
(31.33)
(31.34)
177 I о Ъ(АЦ) (зі.зб;
с »Г« Э Xi
При выводе (31.6) использовалось уравнение /4, с. 222/
