Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
126 равенством (12.14), не является инвариантом. Однако заметим, что хотя
f(G + 2 Л) уП dX Ф J (0 + 2 Л) VrS dX, имеет место равенство их вариаций:
8f(G + 2A)yfgdX=8f(Q + 2A)yfgdX.
Рассмотрим действие Sm материи. Пусть Lm - плотность лагранжиана, определяемая свойствами материи, зависящая от метрики и величин, характеризующих состояние материи. Будем предполагать, что Lm не содержит производных от g?V выше первого порядка. Введем действие Sm с помощью равенства
-Sm=JIm dV =JLmsTgdX.
Здесь интегрирование производится по рассматриваемой области трехмерного пространства X1yX2tX3 и по временной координате X0 между двумя фиксированными моментами. Очевидно,
-SSm= SS (Lm^g)dX =
= /
B(lmy/=1) „„ + HLm 5(W\
dX =
9 (Lm Vz?) д
vm^ Sgtiv +-
dg"" bx*
\bxQ J
9 (Lm V=?)
---Sgliv
<?) 1
Э f Э (Lm V^?)
9^t э(~)
9 (Im Vr?)
Sg""
dX-
dg»v
Э f3(?wyC?)| dxa [
Э I 9 (Im V- g) ] Эдс" 1 * I
9U^
Последний интеграл в правой части полученного равенства согласно теореме Гаусса можно преобразовать в поверхностный интеграл, который равен нулю вследствие обращения вариаций в нуль на границе области интегрирования.
127 Таким образом,
-SS«=/
с
ry^vCi) 9 (9(L„V=I)|1
Введем обозначение
T»v= sTi
Э (ImV^i) _ J_ \b(Lm у^і)П
Э*"" Ъ*а 1 /9^\ JJ' V Эх* /
(12.15)
Тогда
5Slll = C- f Ttiv^bgtlvdX. (12.16)
Соотношения (12.10), (12.13) и (12.16) приводят к равенству ZT KGltv - 1AgnvG- Agtiv + к T?V)V^}Sg^dX=O,
К
которое в силу произвольности 8g?V равносильно системе уравнений - Vig?v G - Agtiv + KTtiv = 0
или
G?v - Vigfiv G = -KTtiv + Agtiv, (12.17)
которая совпадает с системой уравнений Эйнштейна для гравитационного поля.
Поскольку Uv (Gv -lAgvtlG) = 0 и ? vg? = 0, то из (12.17) следует, что симметричный тензор Ttiv9 который определяется равенством (12.15), удовлетворяет равенству Hv Tvtl = 0. Поэтому он может быть отождествлен с тензором энергии-импульса, по крайней мере с точностью до постоянного множителя. Можно показать, что для физически важных полей и видов материи тензор Ttiv9 определенный равенством (12 15), совпадает с обычным тензором энергии-импульса этих полей. Именно поэтому тензор Ttiv называется тензором энергии-импульса материи. Формула (12.15) позволяет вычислить тензор энергии-импульса путем дифференцирования плотности лагранжиана материи Lm по компонентам метрического тензора g?V и их производным. При этом тензор Ttiv получается сразу в симметричном виде. Формулу (12.15) можно исиользовать для вычисления тензора энергии-импульса не только при наличии гравитационного поля, но и при его отсутствии, когда отличие значений gот галилеевых зичений обусловлено выбором четырехмерной системы координат (а не наличием неустранимого гравитационного поля).
128 § 12.4. Нелинейность уравнений Эйнштейна
Релятивистские уравнения гравитационного поля — уравнения Эйнштейна — представляют собой релятивистское обобщение уравнения Пуассона. Однако в отличие от уравнения Пуассона уравнения Эйнштейна являются нелинейными. Что же означает линейность или нелинейность уравнений гравитационного поля? Рассмотрим систему двух тел А и В. Пусть тело А создает гравитационное поле с потенциалом Ф^, а тело В — гравитационное поле с потенциалом Фд. Система этих тел создает гравитационное поле с потенциалом ФА+в. Если уравнение для потенциала гравитационного поля линейно, то потенциал ФА+в системы двух тел равен сумме ФА + Фв. Следовательно, выполняется принцип суперпозиции и поля аддитивны. Если уравнение для потенциала нелинейно, то принцип суперпозиции не выполняется, поля не аддитивны, ФА+в ФФА + Фд. В теории тяготения Ньютона имеет место принцип суперпозиции, уравнение поля (уравнение Пуассона) линейно, гравитационные поля аддитивны, ФА+в = ФА + Фд. В теории тяготения Эйнштейна принцип суперпозиции не выполняется, уравнения поля нелинейны, гравитационные поля не аддитивны, ФА+В ФФА + Фв.
Какова же физическая причина нелинейности уравнений Эйнштейна и линейности уравнения Пуассона? Рассмотрим систему двух тел. Энергия этой системы равна сумме энергий отдельных тел и энергии их взаимодействия, следовательно, энергия не аддитивна, т.е. энергия системы не равна сумме энергий отдельных тел, входящих в систему. В релятивистской теории энергия эквивалентна массе: E = тс2. Следовательно, в релятивистской теории гравитационная масса также не аддитивна. В этом и заключается физическая причина нелинейности уравнений Эйнштейна. Действительно, если масса не аддитивна, то гравитационное поле не удовлетворяет принципу суперпозиции, значит, уравнения поля нелинейны. В теории тяготения Эйнштейна учитывается влияние энергии взаимодействия Eb 3 на гравитационное поле: энергия взаимодействия соответствует массе тв3 = = EbJc2 , которая создает некоторое гравитационное поле, что и приводит к нелинейности уравнений поля. В теории тяготения Ньютона энергия не аддитивна, но масса аддитивна, поскольку в нерелятивистской теории нет связи E = тс2. Поэтому теория тяготения Ньютона не учитывает зависимости поля от энергии взаимодействия системы, что и приводит к линейности уравнения гравитационного поля. Зависимость гравитационного поля от энергии взаимодействия системы и не может быть учтена в теории тягбтения Ньютона, так как в ней с 00, поэтому добавочная масса твз, соответствующая энергии взаимодействия, исчезает.
