Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
ных по отношению к первым производным по Xі отg?V9 то мы ими пренебрегаем.
Таким образом, при предположениях 1 - 5
Goo = WVoo.
Рассмотрим Г00 с учетом наших предположений:
Zclx0 \2
Too =g*og?oT*? = (goa)o (go?)oTa?= Г00 = -Poo .
Cixix dxv Zdx0 \2 /^0X2
l=g?U~dT "dT= ^0 0 \ л/ •
следовательно, T00 = p0o- Введем p = - T00lgoo• Тогда p = p0o = Po = - Г, поэтому при наших предположениях
^(^oo - 1AgooT)= 1Акр, и уравнение (12.6) приобретает вид
V2V2goo=±V2Kp-b.
В нашем приближении g0o =-1+ 2Ф/с2, где Ф - ньютонов потенциал (по знаку он совпадает с силовой функцией, поэтому Ф > 0). Итак, при наших предположениях уравнение (12.6) можно записать следующим образом:
V2Ф = ± ViKpc2 - be2.
Сравнивая полученное уравнение с уравнением Пуассона (12.1), приходим к выводу, что перед к нужно выбрать знак минус, положить к = Snyfc2, Ь = 0.
Таким образом, релятивистские уравнения гравитационного поля -уравнения Эйнштейна имеют вид
G?v - Kg?vG =~KT?V + Agfiv. (12.7)
Здесь мы обозначили A=-Hb уравнениях оставили член с Л. Уравнения (12.7) легко можно привести к виду
G^iv = -K(Ttiv-VigtivT)-Ag.^. (12.8)
Что же означает неравенство нулю Л? Если A^ 0, то, очевидно, уравнение Пуассона заменяется уравнением
V2 ф = — 4эт7р + Ae2 . (12.9)
120 По-видимому, дополнительный член с Л в уравнении означает существование другого силового поля. Какому же полю соответствует Л-член? Чтобы это выяснить, рассмотрим самый простой случай — сферически-симметричное поле в пустоте. Выберем сферическую систему координат с началом в центре симметрии, тогда уравнение (12.9) в случае пустоты запишется в виде
Э2Ф 2 ЭФ
—— +--=Ac2
Ъг г Ъг
или
Э>Ф) д 2
-;—= А с2 г.
Эг2
Проинтегрировав последнее уравнение, получим
Э
— (гф) = 1AAc2 г2 + я, Ъг
отсюда
Ф= VeAc2T2 + а+а/г.
Если A = O, то Ф = а+а/г. Здесь а = ут, где у — ньютоновская гравитационная постоянная, т - масса центрального тела; а - потенциал на бесконечности, который можно положить равным нулю; так как сила определяется градиентом потенциала Ф, значение константы а не играет роли.
Таким образом, при A^O потенциал Ф определяется соотношением
Ф= і/б Ас2г2 +a+a/r= і I6Ac2 г2 +а + ут/г.
Сила, действующая на частицу единичной массы (т.е. ускорение частицы произвольной массы), определяется соотношением
ЭФ „ у т
-=VbACV-V'
Ъг г
где —ут/г2 есть обыкновенное ньютоновское ускорение, создаваемое центральным телом массы т. Кроме обычной ньютоновской силы на частицу действует также добавочная сила, пропорциональная расстоянию; причем при А>0 добавочная сила есть сила отталкивания, а при А< < 0 — сила притяжения. Добавочная сила тем заметнее, чем больше расстояние, поэтому она заметна только в больших областях, а в малых областях незаметна. Постоянная А называется космологической постоянной; слово "космологическая" используется здесь потому, что поле, которое описывает А-член, заметно только на больших, космологических, расстояниях.
В настоящее время значение А неизвестно. Нельзя ли установить верхнюю границу значений А из экспериментов и наблюдений? Данные о верхней границе значений А дают небесная механика и, в особенности, внегалактическая астрономия. Согласно современным данным для того, чтобы не было заметных эффектов от добавочного поля космологических сил, космологический член А по абсолютной величине не должен
121 превосходить 10~5бсм~2. Величину \/l/I А I можно считать характерной длиной, на которой влияние космологического силового поля существенно. По современным данным, таким образом, Vl/I Л | > IO28 см.
Некоторые физики, основываясь на том, что нет эмпирических данных для введения А-члена в уравнения Эйнштейна, считают его равным нулю. Однако необходимо заметить, что эмпирических данных для исключения А-члена из уравнений Эйнштейна также нет. Одним из аргументов для введения А-члена в уравнения Эйнштейна можно считать тот факт, что наиболее общий вид релятивистских уравнений гравитационного поля, которые удовлетворяют требованиям, приведенным в § 12.1, содержит А-член.
§ 12.3. Вывод уравнений Эйнштейна из вариационного принципа
Уравнения Эйнштейна можно получить также из вариационного принципа. Для этого необходимо предварительно определить действие Sg гравитационного поля и действие Sm материи. Искомые уравнения получаются из принципа стационарности действия путем варьирования суммы действий Sg и Sm:
b(Sg+Sm) = 3Sg + 3Sm =0. (12.10)
Поскольку гравитационное поле определяется метрическим тензором gpp, то в вариационном принципе для гравитационного поля варьируются именно компоненты g?V9 рассматриваемые как независимые переменные. Символ 6 обозначает вариацию.
Рассмотрим сначала действие Sg гравитационного поля. Введем функцию Lg — плотность лагранжиана гравитационного поля. Тогда
Sg = SLgClV= f Lgy^idX.
Здесь интегрирование производится по некоторой области трехмерного пространства X1f X2t х3 и по временной координате X0 между двумя фиксированными моментами; g — фундаментальный определитель, dV = = V— Sdx°dx1 dx2dx3 = \/—gdX— элемент объема пространства-времени.
