Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
потребуем выполнение равенства = 0. Тогда имеем
2 _ дх° дх°
~ /дх°\2 goo - goo VajcO у ' ^0' ~ ^00
Эх дх'
откуда получим
дх° C2-W Эх 0 с Vf
дх° C2-W дх С другой стороны,
„ дх° ,
dx° = —-dx° + —-dx',
дх° Ъх1
C2-W
или dx° =
(с2 -W)dx° -CVjdxi
C2-W
Для существования дифференциала dx° необходимо и достаточно выполнение условий полной интегрируемости пфаффова уравнения
-(с2 - W)dx° + с Vjdx' = 0.
137 Покажем, что этими условиями является равенство Aik = 0. В качестве необходимых и достаточных условий полной интегрируемости пфаффова уравнения Ndu + Pdx + Qdy + Rdz = 0 можно принять любые три из четырех соотношений (четвертое — их следствие):
Мы примем первые три условия и, полагая в них N = —(с2 - W), P = CV1, Q = cV2, R = cV3, U=X09 X =X1, у =X29 z =х3,получимAik = 0. Теорема доказана.
Таким образом, на основе доказанной теоремы можем утверждать, что Aik есть ХИ-тензор неголономности пространства системы отсчета: если Aik = 0, то пространство голономно, если Aik ф 0, то пространство неголономно.
Рассмотрим вопрос об интегрируемости времени.
Если Aik ф 0, то преобразованием временной координаты нельзя обратить goi в нуль (см. предыдущую теорему). Тогда элементарный промежуток истинного времени dr представляет собой пфаффову форму:
которая не является полным дифференциалом и не имеет интегрирующего множителя, т.е. не интегрируема; следовательно, время не интегрируемо. Если Aik = 0, то время интегрируемо.
Итак, если Aik = 0, то пространство голономно, а время интегрируемо; если Aik Ф 0, то пространство неголономно, а время неинтегрируемо.
Что же означает неинтегрируемость времени? Если время неинтегрируемо, то при вычислении промежутка времени между событиями, происходящими в разных точках, интеграл от dr будет зависеть от пути интегрирования, соединяющего эти точки. Это означает, что в данной системе отсчета нет единой синхронизации. Синхронизация часов, находящихся в разных точках системы отсчета, зависит от пути синхронизации.
Таким образом, тождественное выполнение равенств Aik = 0 есть необходимое и достаточное условие того, что в данной системе отсчета возможна единая синхронизация, т.е. синхронизация, не зависящая от пути синхронизации.
Можно доказать также следующие утверждения:
1. Тождественное выполнение шести равенств Fi = 0, Aik =0в рассматриваемой области пространства-времени необходимо и достаточно для
cdr = V-g00 dx°--g0i dx\
V-Soo
138 возможности совместного обращения в ней ВСЮДУ goo В минус единицу и всех goi в нуль преобразованием только временной координаты, т.е. необходимо и достаточно для того, чтобы dr был полным дифференциалом.
2. Если Fi Ф 0, Aik = 0, то для dr существует интегрирующий множитель.
3. Условие Fi = 0 необходимо и достаточно для того, чтобы преобразбва-нием только временной координаты добиться совместного выполнение
1 bgoi - п
в этой системе отсчета равенств g00 = — 1, -— - 0.
дхи
Как влияет на синхронизацию часов выполнение или нарушение равенств Fi = 0? Что же означает условие Fi Ф О?
Пусть для простоты Aik =0. Тогда преобразованием только временной координаты можно добиться выполнения равенств go і = 0. При этом
с2 dW
Fi = —--. Поскольку Fi Ф 0, то W зависит от координат, значит,
с2 — W Эх'
и gоо> определяемое по формуле gоо =-(1-- W/с2)2, зависит от координат. Следовательно, темп течения времени в разных точках различен,
так как cdr = у/—good*0. Стало быть, условие Fi Ф 0 означает, что темп течения времени в разных точках различен.
Рассмотрим пару часов, находящихся в разных точках и синхронизированных в какой-то момент времени. Сохраняется ли синхронизация часов с течением времени? Синхронизация часов сохраняется только тогда, когда Fi = 0. Если Fi Ф 0, то синхронизация не сохраняется, так как время в одной точке течет быстрее, чем в другой.
Итак, для сохранения синхронизации всех часов, находящихся в рассматриваемой области пространства-времени, необходимо тождественное выполнение в ней равенств Fi = 0.
§ 13.4. Ускорение, вращение и деформация пространства системы отсчета
В каждой мировой точке, как известно, можно ввести локально-геодезическую систему отсчета, т.е. систему отсчета, в которой возможна локально-геодезическая система координат. Однако локально-геодезическую систему отсчета можно ввести не единственным образом, так как ее линии времени можно выбрать произвольным образом. В мировой точке О выберем
такую локально-геодезическую систему отсчета S0, линии времени которой в данной точке касательны к линиям времени нашей системы отсчета. Это означает, что в мировой точке О ХИ-скорость движения тела отсчета нашей системы отсчета S относительно тела отсчета локально-геодезиче-
ской системы S0 равна нулю: (V1)0 =0. В системе отсчета S0 введем ХИ-величины, характеризующие движение системы отсчета 2 относительно
20в четырехмерных окрестностях точки 0\ ковариантные вектор ускоре-НИЯ (W/)0 , тензор угловой скорости вращения (Olfi)0 и тензор скоро-
