Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зельманов А.Л. -> "Элементы общей теории относительности" -> 43

Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.

Зельманов А.Л., Агаков В.Г. Элементы общей теории относительности — М.: Наука , 1989. — 240 c.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка): elementiobsheyteoriiotnositelnosti1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 89 >> Следующая


Tfiv = p0u?uv,

где Po есть сумма масс покоя молекул (частиц), находящихся в единице объема элемента среды. По-видимому, в общем случае р0 = -Г имеет более сложную физическую интерпретацию. В случае пылевидной среды (т.е. при Po = 0) имеет место равенство р0 = Poo •

Введем другую, часто используемую, величину - плотность р:

P = - Too/goo.

Для выяснения физического смысла р рассмотрим в некоторой системе отсчета {S } пылевидную среду. В этой системе отсчета выделим элемент объема Д F, в котором содержится элемент массы Am. Пусть система отсчета, сопутствующая среде, движется относительно данной со скоростью Vі Выделенные элементы объема и массы в системе отсчета, сопутствующей среде, имеют значения AV0 и Am0, которые являются соответственно

112 элементами объема покоя (собственного объема) и массы покоя. Согласно СТО

/ u* А т0

і Vl—

AV= AV0 у 1--Am = -__

C2 Vl - V2Zc2

Очевидно, Am0IAV0 есть плотность массы покоя р0 в сопутствующей системе отсчета. Величина Am/AVf равная

Am0 1 Po

AV0 1-х?/с2 1-іj2/c2 '

представляет собой плотность всей массы (включая массу, соответствующую кинетической энергии макроскопического движения), или, иначе, Am/Л V есть макроскопическая масса движения Am1 деленная на макроскопический объем A V. Поскольку для пылевидной среды

T^ = P0IiVuvi

то с учетом (10.16) легко можно получить

Too _ Po Am

-V2Ie2

Таким образом, в случае пылевидной среды р есть плотность всей массы в рассматриваемой системе отсчета. Она включает также массу, соответствующую кинетической энергии макроскопического движения.

Рассмотрим уравнение неразрывности или закон сохранения числа частиц. Пусть иа — вектор четырехмерной скорости движения элементов среды, п — плотность числа частиц. Тогда пиа есть вектор потока плотности числа частиц. В галилеевых координатах уравнение неразрывности имеет вид

Ъ(пиа) „ = 0. Эха

В произвольных координатах (в общековариантной форме) уравнения неразрывности приобретают вид

? в(/Шв) = 0. (11.6)

Рассмотрим пылевидную среду и из уравнения закона энергии и импульса и уравнения неразрывности выведем некоторые следствия. В случае пылевидной среды уравнение закона энергии и импульса приобретает вид

DvTtiv = Dv(P0U^Uv) = O

или

U^Dv(P0Uv) + P0UvDvU* = 0. (11.7)

Свертывая его с wM, получим

(UilUil)Dv(P0Uv) + P0Uv(DvUil)Uil = 0. (11.8)

Поскольку WmWm = -I, ТО D^(WmWm) = O, откуда имеем

D^(WmWm) = UfiDvU* +WmD^Wm =WmD^Wm + U? Dv WM = 2wM W М.

8. А.Л. Тельманов

113 С учетом этого (11.8) принимает вид

Dv(p0uv) = O. (11.9)

Будем считать, что массы покоя всех частиц среды одинаковы и равны т0, плотность числа частиц равна п. Тогда p0uv = m0nuv, и (11.9) можно записать в форме

Dv(Ifionuv) = Oi или

(Dvm0)nuv +moDv(nuv)=0.

Но согласно закону сохранения числа частиц (который представляет собой уравнение неразрывности) имеет место равенство (11.6): Dv(nuv) = 0. С учетом этого имеем

(Dvm0)nuv = 0, или

(DvTn0)uv = Oi откуда следует

Ът0

(Dvm0)uv = /

dx"

bxv ds

= i-

dm0

ds

= 0.

Таким образом, вдоль мировой линии масса покоя частицы не изменяется: т0 = const.

С другой стороны, уравнение (11.7) с учетом (11.9) принимает вид (Dvufi)uv = 0. Преобразуя это уравнение, получим dxv

( dx»\ dxv

ИЛИ

но

L Ъх" \ds J va ds

Zdxtl \ dxv \ds ) ds

dx"

ds

= 0;

(11.10)



Э

поэтому уравнение (11.10) можно записать в форме д dxa dx"

—— + r?v——— = о. (li.ii)

ds ds ds

Уравнение (11.11) представляет собой уравнение геодезических - уравнение движения свободных частиц. Таким образом, уравнение движения частиц мы получили как следствие уравнения закона энергии и импульса.

114 ГЛАВА 12

СОБСТВЕННО ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ

§ 12.1. Уравнения гравитационного поля

Основная задача собственно теории гравитационного поля заключается в установлении релятивистских уравнений гравитационного поля. Нужно получить релятивистское обобщение закона тяготения Ньютона. Закон тяготения Ньютона может быть сформулирован в конечной форме (закон обратных квадратов) и в дифференциальной форме (уравнение Пуассона), но с добавочными граничными условиями. Для получения релятивистского обобщения уравнения Пуассона нужно вспомнить те случаи, когда нерелятивистская теория тяготения (нерелятивистская механика) служит достаточно хорошим приближением. При рассмотрении системы отсчета Мёллера была установлена связь между потенциалом сил инерции и одной из компонент метрического тензора: -g0о = 1 - 2W/c2, которая справедлива при W/с2 < 1. По-видимому, с точностью до константы именно величина g00 является аналогом того потенциала, который удовлетворяет уравнению Пуассона. Однако W есть скалярная величина, a ^o не является скалярной величиной, а представляет собой одну из компонент метрического тензора. Значит, обобщенным аналогом ньютоновского потенциала должен служить метрический тензор gpy. Как было показано в § 10.7, для полного описания гравитационного поля, поля сил инерции и метрики трехмерного пространства необходимо десять величин.
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 89 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed