Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
стей деформации (d}l)0. Выражения перечисленных величин через
139 ХИ-скорость получаются из их обыкновенных тензорных выражений путем замены обыкновенных производных через ХИ-производные. Пользуясь общими преобразованиями вида ха = де1, х2, х3), находим, что в любой мировой точке О выполняются равенства
і* : /V *
/Ъх'\ ~ дх' дх1 „
F< = -(-г ) (w/)o> Aik =--(*,7>о-
^dx' / Эх' Эхк
Можно ввести также ХИ-тензор Dfjc, удовлетворяющий в любой мировой точке О равенствам
Ъх* Ъх1 ~
Afc =--(dn)o-
Ъх' Ъхк
Таким образом, Ff есть взятый с обратным знаком вектор ускорения пространства данной системы отсчета относительно S0, Afk — тензор угловой скорости вращения пространства системы отсчета относительно S0 , а
Dfk — тензор скоростей деформации пространства относительно S0. Можно показать, что
_ 1 *bhik _ 1 *э hik *Э1пл/7Г
г^е D = D1J — скорость относительного объемного расширения элемента пространства. (Объем элемента пространства можно представить как интеграл от \fhdxldx2 dx3, причем дифференциалы dx' и область изменения значений Xі, по которой производится интегрирование, на зависят от х°.)
Рассмотрение уравнений движения частицы (см. § 13.7) показывает, что Ff можно интерпретировать как отнесенную к единице массы сумму гравитационной силы и силы инерции переносного ускорения, a Aik есть угловая скорость абсолютного вращения системы отсчета, определяемая из эффекта Кориолиса.
а
Пусть Г ?V — четырехмерные символы Кристоффеля второго рода. Тогда
F1 = C2TooZgoo9
Dk + Ak = (с/ V - g0 о ) ( T0 к - Г0 о go к Igo о ).
Можно ввести также ХИ-вектор угловой скорости вращения пространства системы отсчета:
Sli = VieijkAjk, П, = VieijkAiki (13.15)
140 где є*ік и еіік - такие совершенно антисимметричные единичные ХИ-тен-_ 1 1 зоры, что е123 = (Л) 2, е123 = 2 • Очевидно,
Sl1 = Л23/\Д", П2 =A31ZVT, П3=А12/у/К.
§ 13.5. Кривизна пространства системы отсчета
Геометрической характеристикой четырехмерного пространства-времени является тензор Римана — Кристоффеля. Он характеризует кривизну пространственно-временного многообразия и поэтому называется тензором кривизны. Как же ввести тензор кривизны для трехмерного, вообще говоря, неголономного пространства? Воспользуемся тем способом, которым был ранее введен тензор Римана - Кристоффеля. Он был получен из некоммутативности вторых ковариантных производных от вектора. Введем ХИ-обобщения символов Кристоффеля и оператора ковариантного дифференцирования. Заменив обычные производные по Xі в выражениях для трехмерных символов Кристоффеля, образованных из величин Hik, и для соответствующего оператора трехмерного ковариантного дифференцирования V/ через ХИ-производные, получим выражения для ХИ-симво-
лов Кристоффеля Aij^ к и A^7 и для ХИ-оператора ковариантного дифференцирования * Vi :
,/Ч* Ч* Чл Ia,,
4k = 2—г —;---: д'/= Д".*А •
Vax1 ъх1 Ъх J
. і ...» k ...і
V1G/. = -— - AiiQl... - ... + AuQj... .
Ъх1
Очевидно,
* ViHlk = 0, "ViHkl = 0, * ViHlk = 0. Можно показать, что
і _ і So к і So і і gokSoi і
^kl * 1kl * Ol 1OA:+ ~г-1OOj
?o о So о So о
iOL j? _ к U jm к
g g raj3 = Hh Alm .
Вторые ХИ-ковариантные производные некоммутативны. Если Qi ковариантный вектор, то
* » ¦ ¦ 2 Aik ЪQl ... І
(V1-Vfc- Vfc V1) ?, '-Tl-і-+HlkilQh (13.16)
С Ot
141 где
*ЭД(7 tBA1kl
• ••і 11 Kl т J mi
Hlk! =---+ AwAfcm - AjmA1w. (13.17)
Эх1
ХИ-тензор Hikiiаналогичный тензору Схоутена в теории неголономных систем, в общем случае по своим свойствам отличается от тензора Римана — Кристоффеля. Однако можно ввести ХИ-тензор Cikiji который обладает всеми алгебраическими свойствами тензора Римана — Кристоффеля, поэтому может служить его аналогом:
QkiJ = 1A Wikij - HjkH +HkIji - HiIjk).
Легко видеть, что
Hikij = Cikij + (2 AkiDn + AijDkt + AjkDn +
+ AklDii + (13.18)
Очевидно, если ^wrt = 0 или Dmn = 0, то Hikij = С/*//. Введем также Hik -
— і • к — і к = Hiki , # = И CikzzCiki , C=Cfcf Тогда
я,* = Cik + 4" + i^j0* + Н = С (13Л9)
с
Тензор Cikij можно получить и другим способом. Нам нужно охарактеризовать отклонение пространства от евклидовости. В каждой мировой точке проведем пространственные сечения, ортогональные к линиям времени в этой точке. В окрестности данной мировой точки можем ввести метрику hik и вычислить кривизну пространственного сечения с помощью обыкновенного тензора Римана — Кристоффеля, но соответствующего метрике hik. В случае неголономности пространства через каждую мировую точку можно провести бесконечное число пространственных сечений, ортогональных к линиям времени в данной точке, которые касаются друг друга в этой мировой точке, но вне ее не совпадают. Для разных пространственных сечений, ортогональных в данной мировой точке к линиям времени, кривизна будет различной, т.е. вне этой мировой точки ортогональность пространственных сечений к линиям времени нарушается, но нарушается по-разному. Такая неоднозначность в случае неголономных пространств получается потому, что нельзя выбрать пространственные сечения, всюду ортогональные к линиям времени. Попробуем выбрать пространственные сечения, наиболее близкие к пространственным сечениям, всюду ортогональным к линиям времени. Будем называть их максимально-ортогональ-ными к линиям времени в окрестностях данной мировой точки. Выбирая пространственные сечения, ортогональные к линии времени в данной мировой точке О, мы добиваемся выполнения в этой точке равенства (?о/)о = Нельзя ли потребовать выполнения в этой точке равенства
