Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Пользуясь этой теоремой, достаточно легко можно находить КИ-выра-жения для величин и операторов, если известны их выражения при каком-либо специальном выборе системы координат, осуществимом преобразованиями (14.1) (например, при g00 = -1, g0i = 0) в данной мировой точке.
Для КИ-метрических тензоров Hik и Itik1 фундаментального определителя h = I hik I и элементарной длины du находим
hik = gik, hik=g« -goigok/g°\
h=gg°°, du2 = hik ^dxi ~dxk = hik ^dxYdxk ,
^dxi = giadxa, ^dxi = dx' - g0idx°/g00. Здесь dx' - КИ-обобшение дифференциала координат dx*.
ISI Пространство, определяемое найденным выражением для du, будем называть пространством сечений. Оно при любых значениях X0 совпадает с пространственными сечениями (х0 = const), причем мировые линии его
точек (^dxi = 0) всюду ортогональны к этим сечениям. Система отсчета, для которой те же линии служат линиями времени, называется нормальной. Ее пространство отсчета совпадает с пространством сечений. Во всякой
системе отсчета, отличной от нормальной,v^xi неинтегрируемы. При этом координаты Xі фиксированных точек пространства зависят от времени. Для элементарного КИ-промежутка времени dr имеем
dx°
cdr =--HZH" •
v-*00
Очевидно, ds2 = —c2dr2 + du2.
Для КИ-скорости Vi движения точки относительно данного пространства сечений находим Vі =^dx1 /dr. Переменность координат Xі фиксированных точек пространства сечений в какой-либо системе отсчета можно рассматривать как следствие ее движения относительно этого пространства
со скоростью V1 = — eg01/ V —g00.
§ 14.2. Кинеметрически инвариантные операторы дифференцирования
Кинеметрически инвариантные (т.е. не нарушающие кинеметрической инвариантности дифференцируемых величин) дифференциальные операторы будем отмечать так же (дугой), как и КИ-обобщение дифференциалов координат.
Э
Очевидно, оператор - кинеметрически инвариантный, зна^т,
Ъх*
~Э Э
-= -. Поэтому кинеметрически инвариантны также обычные трех-
Эх1' дх*
к
мерные символы Кристоффеля к и Atj, вычисленные для КИ-метри-ки hik\ следовательно, кинеметрически инвариантен и соответствующий оператор ковариантного дифференцирования, т.е. v^ Vf = V/.
Если Qi — произвольный ковариантный вектор, то, как обычно,
(VfV, - V, V1) Q1 = Hi;!Qh где
Э ДІ Э Д
• •• j 11 Kl т j т j
Hlki = —--7-+ А„ДЛ|И - Ал/Afw
Ъхк Ъх1
... / ... і к Очевидно, Hlki, Hlk = Hlki и Я -Hk - кинеметрически инвариантны.
152 В нормальной системе отсчета имеем —= /—,где /= — yJ—g00.
Э t dt
Пусть gl = g0l/g00, a Q*.'.. - произвольный КИ-тензор. В произвольной системе отсчета имеем
cbt
л* ¦
=/ (-^r1-^siViQi+of:::?*1+• • • -O/.'.'.'V,** -...}, о«)
' С Ot '
^dAf, IdA-, ...к , t)
—гг-=/ -~»т V + VfV/ir* , (14.3)
с Ot У с Ot >
^Э In ч/Г IdlnVF .)
TiT-=/1—+v^l-
(14.4)
В (14.2) ковариантные производные можно заменить простыми. Скаляр / и вектор g' - кинеметрические объекты: ~ Ъх°
fmfSi--
7 +
V Ъх> дх° J Ъх°
Введем полную КИ-производную по времени и полную производную по КИ-времени:
^d ^b . Э d dt Э dx> Э
-=-+у/-- — =--+--- (14.5)
dt bt Ъх1 dr dr bt dT Ъх1
Если дифференцируемая величина - КИ-скаляр, то ^djdt-d/dT. Для КИ-дифференцируемых величин имеем
wa2 wa2 _ Fi dx'dt dt дх' с2 dt
7 dinf
где Fi — КИ-вектор. Очевидно, Fi = с -г- , так как ViFk = VkFi.
дх1
Тождественное выполнение равенств Fi = 0 в рассматриваемой четырехмерной области есть необходимое и достаточное условие геодезической параллельности данных пространственных сечений в этой области. Тогда go О = -1 при ^Oi = O.
Введем в каждой мировой точке локально-геодезическую четырехмерную систему координат S с пространственным сечением, касательным в этой точке к данному пространственному сечению. Тогда можно показать, что Fi есть взятый с обратным знаком КИ-вектор ускорения пространства сечений относительно Е. Обозначим через Aik и Dik КИ-тензоры соответственно угловой скорости вращения и скорости дефор-
153 мации пространства сечений относительно Е. Тогда имеем
1 ^bhik .. X^bhik
Aik = O9 Dik=- ——, Dlk=--
2 Ы 2 dt
І ^Э1п s/h
D = Di= -—.
bt
§ 14.3. Кинеметрически инвариантные уравнения движения частицы и распространения света
dxa
Пусть т0 - масса покоя частицы, Pa=im0- и Ha - мировые
ds
векторы импульса и не гравитационной силы, E - КИ-энергия частицы, р. - ее КИ-импульс, - негравитационная КИ-сила, т - КИ-масса. Тогда
C2P0 т0
E = тс =-- . CPi = Pi = тщ, т = -
V-S00' ' " Vl - ViV1Zc2 '
Легко убедиться, что между КИ-энергией частицы и ее КИ-импульсом существует связь:
E2Ic2 -PiPi^m20C2. (14.6)
При постоянной массе покоя т0 мировые уравнения движения частицы принимают вид
^dE
—— + тDifViVi - YnFiVi = ^iVi9 (14.7)
+ AqPiVi + 2тDiVi- mFk = $к. (14.8)
Уравнение (14.7) представляет собой уравнение изменения КИ-энергии частицы, а (14.8) есть уравнение изменения КИ-импульса частицы. Заметим, что уравнение (14.7) можно получить из уравнения (14.8), если воспользоваться соотношением (14.6).
