Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
C??otv = Й (fl??av — Hv?aiL + H??va ~ Да?v?)>
C?? = С ??a > •
Если Apa = 0 или Dpo =0, то H??av = C??av.
Дополняя ХИ-тензоры до ортометрических тензоров, легко показать, что общековариантные обобщения ХИ-тензорных уравнений можно получить заменой ХИ-тензорных величин и операторов одноименными ортомет-рическими тензорными величинами и операторами.
§ 15.3. Ортометрические уравнения движения частицы и распространения света
dx* ^
Пусть W0- масса покоя частицы, P = m0i — и 2г — обычные миро-
ds
вые векторы импульса и силы, E — ортометрическая энергия частицы, ра — ортометрический импульс, - ортометрическая негравитационная сила, т — ортометрическая масса частицы. Тогда
C2M** = -E = -тс2, ChlPii= Pa = ту(*>
т0
т =
V 1 - vava/c2
і
с2Цг? = -?*(1 -v?v?/c2) 2
11. A.JI. Зельманов
161 Очевидно,
E2Ic2 -P0lPa^m20C2.
При постоянной т0 уравнения движения частицы в ортометрической форме имеют вид
°dE
- + mDeyV€v* - mFeve = %єиє,
dt г
°dp« . ________.
dt
Перейдем к распространению света в пустоте. Пусть Ka- обычный мировой волновой вектор, со — ортометрическая циклическая частота. При этом
°dx°
cb?K? = -со, cha?K? = соаа; а° =-, du= с dr.
du
Мировые уравнения распространения света в ортометрической форме можно записать следующим образом:
+ co(Z)er a V Feа6) = О, dt с
°d( coa(
dt
} Г 1
— + col с A^cf с? +2(Р°+А?)<х€ - -Fa
= 0.
§ 15.4. Уравнения закона энергии и импульса и уравнения Эйнштейна в ортометрической форме
Пусть Tiiv- тензор энергии-импульса, р — ортометрическая плотность массы, Ja — ортометрическая плотность потока массы, равная плотности импульса (рс2 — плотность энергии, JclC2 — плотность потока энергии), UaP — ортометрическая плотность потока импульса, U = U^. Тогда
b?bvT?V = p, сЩ bvT?V = -Ja, C2Hlhl T?V = Ua?.
Уравнения закона энергии и импульса в ортометрической форме имеют вид
+ Dp + -2 De,U^ +(° Vef)}J* - l- FeJ*= О, bt с2 \ с2 / с2
°bJa / 1 \
- + DJa+2(Da + A'a)J€ + f°Ve- — FeJUae-PFa= 0.
162 Уравнения поля тяготения Эйнштейна, разрешенные относительно свернутого мирового тензора кривизны, могут быть представлены в виде
+ DeiD^ - AeiAfi +(° Ve - ^2 F6^Fe= - J (рс2 +U) +Ac2,
° Ve(hoeD - Dae- Aae) + 4- FeAoe = KJa,
с
-(D^e+AfleXDl +A?)+DDtiv-DtieDev +
Ot
+ 3AlieA? +-C0 VtlFv + ° VvFtl) - ^rFilFv - C2Cliv = 2 с
= - (рс h?V + IUiiv - Uhiiv) + Ac h?V.
Приведем также некоторые тождественные соотношения. Пусть GyvoP -мировой тензор Римана — Кристоффеля,
г • • •р - дґдр дґ*^ а р _ а р ?va " ~~ ^cr т 1 дсг1 уа 1 ду1 ста-
Введем ортометрические тензоры
Xa? = C2 Giivop^bv haahp? = C2Giiv^bv9 Ya?e = cG^bWbhfa = сС^аеЪ»кЩ9 Z*?er = -C2Giivo^hWhp .
Тогда
= -T— ~(А*г + i4er)(D|+ +
Ot
2
= ° Va(?>0e + ^e) - ° VjKAm + i4ee) + — ^Fe,
Za/3ef =
= Da?Det - DcteD?t -Aa?Ae^ +AaeA?t +2A?€Aat - C2Cal3ef.
В заключение заметим, что по существу ортометрическая форма монадного формализма представляет собой вариант применения теории, вообще говоря, неголономных m-мерных подпространств V™ в w-мерных римановых (псевдоримановых) пространствах Vn к пространству-времени (т = = 3, п = 4). От других аналогичных вариантов он, прежде всего, тем и отливается, что представляет собой общековариантное обобщение аппаратов хронометрически инвариантных и кинеметрически инвариантных величин.
И* 163 ЧАСТЬ V
НЕКОТОРЫЕ АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
В части V мы рассмотрим важнейший как в теоретическом, так и в практическом отношении случай сферически-симметричного гравитационного поля (решение Шварцшильда) и некоторые его астрономические приложения, а также вопросы, связанные с проблемой гравитационных волн и гравитационного излучения. Мы здесь не коснемся приложений общей теории относительности к релятивистской астрофизике и релятивистской космологии. Подчеркнем лишь, что одним из важнейших космологических следствий общей теории относительности является предсказание нестационарности Вселенной, сделанное на основе космологических моделей A.A. Фридмана и получившее блестящее подтверждение астрономическими наблюдениями. Открытие расширения наблюдаемой области Вселенной радикально перестроило всю систему знаний о строении и эволюции Вселенной.
ГЛАВА 16
СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНЫЕ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ПОЛЯ ВНЕ МАСС
§ 6.1. Решение Шварцшильда
Получим выражение для линейного элемента ds2 в пустом пространстве, окружающем гравитирующую точечную массу. Гравитационное поле точечной массы обладает сферической симметрией. Выражение линейного элемента для сферически-симметричных гравитационных полей в пустоте впервые было получено К. Шварцшильдом в 1916 г. Оно имеет большое значение, поскольку с его помощью можно описывать гравитационное поле, окружающее Солнце, и вывести формулы для трех решающих опытов, в которых обнаруживаются различия между предсказаниями ньютоновой теории тяготения и более точными предсказаниями общей теории относительности.
