Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Утверждение о сферической симметрии поля означает, что можно выбрать такую систему отсчета, в которой поле является сферически-симмет-
164 ричным. Выберем такую систему отсчета. Тогда в этой системе отсчета Aik = 0 и преобразованием только временной координаты можно добиться всюду выполнения равенств goi = О, т.е. можно выбрать пространственные сечения, всюду ортогональные к линиям времени этой системы отсчета (см. § 13.3). Имеем
Soadxa -
Cdr = - t = V-Soo dx°,
V-ioo
du2 = hikdxidxk = gikdx*dxk, ds2 = -с2 dr2 + du2 = -goodx0* + gikdxidxk. Чтобы не запутаться в дальнейших преобразованиях, ds2 запишем в виде
ds2 = -IooC2 dT2 +du2.
Возьмем пространственное сечение T = const, тогда ds2 = du2. В этом случае ds представляет собой чисто пространственное расстояние. В случае сферически-симметричного поля можно пользоваться сферической системой координат, в которой имеем чисто радиальную координату г и две угловые координаты 0, у. Уравнение г = const определяет сферическую поверхность в данный момент времени Г. Возьмем пространственное сечение F = const и в нем многообразие точек, удовлетворяющих условию г = const. Тогда du сводится к элементарной длине на поверхности сферы. Но, как известно, на сфере элементарная длина определяется соотношением
du2 = e?(dd2 + sin2 Qdy2).
Что же представляет собой e?9 и равно ли оно?'2? Вообще говоря, д = = ii (г9 г) и при переходе от одной сферы к другой ц меняется. Введем новую
радиальную координату г = г (Г, г ) таким образом, что г = е 2 . Всегда ли можно ввести таким образом радиальную координату г, т.е. всегда ли г окажется пространственной координатой, а не временной? Оказывается, не всегда координата г будет пространственной, она может оказаться и временной. Придадим г смысл пространственной координаты, тем самым будем предполагать систему стационарной (и сферически-симметричной). Очевидно, совокупность условий Г= const, Г = Const эквивалентна условиям Г= const, г = const. В новых обозначениях элементарная длйна du на сфере Г= const, г = const определяется соотношением
du2 = г2(de2 +Sin2 в dv2).
Это выражение для du2 написано при г = const. Однако при г Ф const члены, содержащие dr dy, dr d09 dO dy, также не появятся, поскольку их наличие нарушает сферическую симметрию. Поэтому квадрат расстояния между двумя любыми бесконечно близкими точками пространственного сечения Г= const определяется формулой
du2 = exdr2 + г2(dO2 +Sin2 в V),
где X = X (Г, г) - некоторая функция от Г, г, причем она не зависит от ^p9O9 ибо в противном случае нарушается сферическая симметрия.
165 Откажемся от условия T=Const. Тогда появится еще один член с dT2, а членов с dTdQ, dTdy, dtdr не будет в силу равенств goi = 0. Таким образом, с учетом сферически-симметричного характера гравитационного поля линейный элемент ds2 может быть представлен в виде
ds2 = -evc2dt2 + exdr2 +r2(d92 + sin2 в d*2\ (16.1)
где X = Х( F9 г), V = v( 7, г).
Переобозначим координаты:
x0 = cl9 x1 = г, x2 = 0, x3 =<?. Тогда
Soo = -Л gl 1 = g22 = Г2
»
g33 = г2 sin2 0; ^jlll, =0, [іФу. Символы Кристоффеля второго рода имеют следующий вид (точка обозначает дифференцирование по 5с°, штрих - дифференцирование по х1):
г8о =?;, г?, =?^-", Tj1 =1A,
Гоо = lAv'ev~x9 Tg1 =?!/, Г}, =?*',
Pj2= _re'X, Г] 2 = Vr9 Гзз = -re~x sin2 0,
Г33 = —sin 0 cos 0, Г23 = ctg 0, Г13 = 1/r.
Остальные 28 коэффициентов связности Г JJp равны нулю.
Рассмотрим гравитационное поле в пустоте (т.е. при T?V = 0). В этом случае уравнения тяготения Эйнштейна имеют вид
G?v = -Agjll,,.
Как было отмечено ранее (см. § 12.2), космологический член Л играет роль только на больших расстояниях, поэтому при рассмотрении некосмологических задач его можно положить равным нулю. Тогда уравнения гравитационного поля в пустоте приобретают вид Gyiv = 0.
Можно показать, что для метрики (16.1) G0] = -X/r, G02 =0, G03 =0. Уравнение G0J = 0 приводит к равенству X/r = 0, т.е. Х = 0. Следовательно, X есть функция только одной радиальной координаты г : X = X (г). С учетом этого факта остальные составляющие тензора Риччи запишем в виде
G00 = — (??/' — Vav +?/ +i//r)e"-\
G11 = Viv -Vav'\' + Vav'* -Х'/г,
G2 2 = -1 + \\ - rX') + У2ге~ V +
Gз з = G2 2 sin2 0, G12 = G2 з - G3 \ =0.
Соответствующие уравнения Эйнштейна приводят к следующей системе уравнений:
lAv" - Vav X' + 1Av'2 + v'/r = 0,
й _ i/4 г/ X' + i/4 г/ 2 _ у/г = 0,
-1 +е-х(\-г\')+-2 e-x(v +Х') = 0. 166 Складывая и вычитая почленно первые два уравнения, получим эквивалентную систему:
v" -? v'X' + ъ v'2 + (і/ - x')/r = 0, (16.2)
(і/ + Х> = 0, (16.3)
-1 -Ye~x(\ — г X' ) = 0. (16.4)
Покажем, что из этих уравнений независимых только два: уравнение (16.2) есть следствие уравнений (16.3) и (16.4). Действительно, уравнение (16.4) можно представить в виде
e-xd\l(e-x - 1 ) = dr/r
или после интегрирования
= 1 + Cijrt (16.5)
где а — постоянная интегрирования.
Исключив V из уравнения (16.2) с помощью (16.3), получим равенство
