Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
f Jt2L J = о? Нет, нельзя! Действительно, при (?о/)о = 0 величины \ Ъхк/0
142 (Aik)o= --— ] . в случае неголономного пространства Aik ФО,
1 \ дх1 Ъхк/о
/dgok dgoi\ ^
значит, (-^---г J Ф 0, следовательно, по крайней мере три из девяти
Ъхк /о
величин bgok/dxi в данной точке отличны от нуля. Таким образом, на величины dgoic/dx* наложены три ХИ-ограничения: ( ^0k--) Ф 0.
ЧЭд:1 Ъхк/о
Значит, на девять величин dgQk/dx* мы можем наложить еще только шесть ограничений. Потребуем, чтобы в данной мировой точке выполнялись
равенства ( g°k + ^0t ) = 0. Можно показать, что преобразованием \ах' ах*/о
временной координаты можно добиться выполнения в данной точке равен-
(ZgQk bgQi\ /\ <т> е-
ства ( —— +-г ) = 0. Таким образом, для пространственных сечении,
Vax1 Ъхк/о
максимально-ортогональных к линиям времени в окрестности данной мировой точки О, справедливы равенства
/ ч n (bgок А bgoi\ п
Максимально-ортогональных пространственных сечений для данной мировой точки О также будет бесконечное множество, но кривизна их всех будет одинаковой, и тензор кривизны (тензор Римана — Кристоффеля), соответствующий метрике hfk9 в каждой мировой точке совпадет с тензором Cikti, поэтому можно считать, что C\kti есть ХИ-тензор кривизны неголономного пространства. Пусть хтп - единичный ХИ-бивектор, фиксирующий какое-либо двумерное направление в данном пространственном сечении. Тогда риманова кривизна в этом двумерном направлении
равна CiknXikX17 , а гауссова кривизна равна — 1I6 С.
Итак, кривизну пространства системы отсчета можно характеризовать величинами С/*//, Cik и С.
Приведем некоторые ХИ-соотношения, важные в приложениях метода хронометрических инвариантов. Тождества (13.12) и (13.13) с помощью ХИ-вектора угловой скорости вращения Qi можно привести соответственно к виду
2 *а
--- (yfh Sli) + еіік * VjFh = 0, (13.20)
\fh bt
* VgSli + —г Fj Sl1 = 0. (13.21)
с
143 Введем обозначение
ty'i ¦(• ^ify' - (•»* - 7- fjJK
•ад* ,
Тогда - = С if. Если ?/... — тензор, то
bt
/* *Э *Э „ N m ...
( V'i7--5T у ' = , *эе7..:
1 1 Л 1 ^m ••• _...
= — ^f——— + CttQl.: +...-CiiQ,... - ...
С Of
Тензоры Z)^ и Я/Л/1 связаны тождествами
Введем абсолютную ХИ-производную * Vf по времени от тензора 0/... ,
определив ее как скорость изменения этого тензора в системе отсчета S, которая является локально-геодезической в данной мировой точке и имеет в ней линию времени, касательную к линии времени данной системы отсчета. Тогда
* vf?7.:." =
* т
bQ,...
1 і . J т .. т • т / •••
--г--(Dl+A, )Q,... - ... +(Dj + Aj )Q\... + ...,
Ot
* Vfhik = 0, *V,A*=0, * Vthik= О, 'VfInvOT = 0.
§ 13.6. Уравнения закона энерпт и импульса в хронометрически инвариантном виде
Пусть Tfiv — мировой (четырехмерный) тензор энергии-импульса, P -ХИ-плотность массы, Ji — ХИ-плотность потока массы, равная плотности импульса (очевидно, рс2 - плотность энергии, JiC2 - плотность потока энергии), Uik - ХИ-плотность потока импульса, U = Uii. Тогда, исходя из основной теоремы хронометрических инвариантов (см. § 13.1) и из вида величин р9 Ji9 Uik в специальной теории относительности в галилеевых
144 координатах, можно написать:
P =
' 00
Soo
CTr
J1 = -
V-Soo
Uik = C2Tik.
Уравнения закона энергии и импульса в ХИ-форме имеют следующий вид:
Эр 1
— + Dp + —DijU1' + Э t сг
СV/ ~ Ь JFiJi=0) (1з,22)
+ + 2(Z) • + А; *)/' +V1. - F^Uik] - р F* = 0. (13.23)
Рассмотрим уравнение (13.22) и выясним, чем обусловлено изменение плотности массы р (или плотности энергии рс2 ). На изменение плотности р влияют следующие факторы:
1. Изменение объема, занимаемого массой. Этот фактор в уравнении (13.22) учитывается членом Dp.
2. Член Dff Uil , учитывающий изменение плотности энергии под действием поверхностных сил (градиента давления и вязкости) на границах элемента объема. В рамках релятивистской теории этому изменению плотности энергии соответствует изменение ПЛОТНОСТИ массы —Y DijUlf.
1
3. Член -FiJi3 учитывающий изменение плотности массы вследствие
с
работы сил гравитационного поля, которая, ускоряя или замедляя поток массы, увеличивает или уменьшает плотность энергии, следовательно, и плотность массы.
4. Член (Vf--в уравнении (13.22). Что это за член?
\ ! < /
Если бы не было —F., этот член представлял бы собой ХИ-дивергенцию
с і ХИ-вектора Ji. В чем же заключается отличие * Vf---Fi от *Vf,
і
из-за чего появляется добавочный член —— Fi ?
с
Вспомним, как обычно вычисляется дивергенция. Для вычисления дивергенции берется элементарный объем и находится разность между количеством субстанции, входящей в этот объем за единицу времени, и количеством субстанции, выходящей из него за единицу времени. Предел отношения этой разности к объему при стремлении последнего к нулю и есть дивергенция. Но что принять за единицу времени? Дело в том, что в релятивистской теории темп течения времени различен в разных точках.
10. A.JL Зельманов 145 Если взять равную длительность единиц времени на противоположных стенках элементарного объема, то начала и концы единиц времени на этих стенках будут несинхронными. Если начала и концы единиц времени на противоположных стенках элементарного объема синхронны, то длительность этих единиц времени будет разной.
