Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
h = 2S/T= 2-nab/T = 2яд2 V 1 - е2/Г,
следовательно,
mc An2CL3T 2т
J
h сТ2 - 2яд2 Vl - б2 сТ\/Т^е отсюда
3m2c2/k2 = 12я2д2/[с2г2(1 — є2)], и соотношение для б ^0 приобретает вид 12я2д2
За период T координата ур изменяется от нуля до 2я, следовательно, за промежуток времени t долгота ур, начиная с нуля, примет значение ур = 2lit/Т. С учетом этого равенство (17.20) можно записать в виде
Syp0 = 24я3д2г/[с2Г3(1 — є2)]. (17.21)
12. A.Jl. Зельманов
177 Таким образом, величина Sy0, на которую изменяется долгота перигелия ^0 за время ґ, вычисляется по формуле (17.21). Здесь а - большая полуось орбиты, е - эксцентриситет орбиты, T - период обращения планеты.
Согласно формуле (17.21) для Меркурия смещения перигелия за 100 лет составляет 43,03". Современные радиолокационные данные подтверждают релятивистский эффект сдвига перигелия Меркурия с точностью до 1%.
Необходимо отметить, что формула (17.21) описывает лишь релятивистское смещение перигелия орбиты планеты, который смещается также из-за возмущений от других планет, причем это смещение существенно больше релятивистского. Например, смещение перигелия орбиты Меркурия из-за возмущений от других планет за 100 лет составляет 532", что в 12 раз превышает релятивистский эффект.
Из (17.21) легко видеть, что чем дальше планета, тем медленнее смещается перигелий из-за релятивистского эффекта. Заметим, что точность определения смещения перигелия зависит и от самого перигелия. Поясним эту мысль. Если эксцентриситет е = 0, то орбита является круговой и нет понятия перигелия. Если е мало отличается от нуля (эксцентриситет мал), то перигелий слабо выражен (хотя он есть) и его положение трудно определить. Поэтому возможность проверки релятивистского смещения перигелия орбиты Венеры более слабая, чем такая возможность для Земли или для Марса, так как эксцентриситет орбиты Венеры равен 0,0068, а для Земли и Марса он соответственно равен 0,0167 и 0,0934. Для ближайших планет расчеты релятивистского смещения перигелия орбит согласуются с наблюдательными данными.
§ 17.2. Гравитационное отклонение световых лучей
Второй из трех классических проверок общей теории относительности является отклонение света при его прохождении через гравитационное поле вблизи Солнца.
Согласно общей теории относительности траектории световых лучей, как и свободных частиц, Определяются уравнениями геодезических линий, но с дополнительным условием ds = 0, т.е. уравнениями нулевых геодезических линий. Таким образом, уравнения (17.1)-(17.4) для планетных орбит будут применимы и в случае распространения световых лучей вблизи Солнца, но при учете условия ds = 0.
Из интеграла площадей r2dylds = h/c видно, что дополнительное условие ds = 0 может быть учтено, если положить h = 00 (или h = °°); следовательно, для света секториальная скорость равна бесконечности. Если в уравнении (17.16)
d2u тс2 .
+ W = —— + Зти2
df2
положим h = 00, то получим уравнение для траектории световых лучей вблизи Солнца:
d2u
+ W= 3mw2. (17.22)
178 Оценим правую часть Эти2 по сравнению с и. При этом возьмем значения радиуса Солнца и т Солнца. Тогда
3 • 1,5
З ти2 : и = 3 ти <
6- IO"6.
7 • IO5
Поскольку член 3тц2 существенно меньше м, то он является возмущающим членом, и в первом приближении можно рассматривать уравнение без правой части:
Ci2U1
df
+ W1 =0.
Решением уравнения (17.23) является функция cos (<р- <А))
W1 =
R
(17.23)
(17.24)
которая представляет собой уравнение прямой линии AB в полярных координатах, проходящей на расстоянии R от начала координат перпендикуляр но к радиусу-вектору с полярным углом ^0 (рис. 19).
Рис. 19
Итак, в первом приближении траектория светового луча вблизи Солнца есть прямая линия. Во втором приближении уравнение имеет вид
Af2W2
dip2
+ W2 =Jmu2li (17.25)
или
J2W2 3т
—Г + = —і cos2 (<р- <А))-
dyf Rz
Общий интеграл этого уравнения можно записать в форме
1 mI
W2 = - cos {sp - <А)) + —г [cos2 (<р - <р0) +2 sin2 (^ - ^0)] •
Л А
10*
179 Выберем направление полярной оси таким образом, чтобы = 0. Тогда
1 т
R2
U2 - — cos Ур + —^ (cos2 \р + 2 sin2 ур) , R п
или
m
U2- — cos ^ + — (2 - cos2 A R
(17.26)
Линия, описываемая функцией (17.26), уже не является прямой. Оценим второй член в правой части (17.26) по сравнению с первым:
т 1 _ т 1,5 RT ' - = —^ "
R
т —<
R 7-Ю5
2 • IO"6.
Таким образом, отклонение кривой, описываемой (17.26), от прямой невелико. Найдем асимптоты этой кривой. Для асимптот г 00 и и 0. Значит, уравнение асимптоты есть и = 0. Отсюда
1 т
cos ур + — (2 — cos ур) = 0,
R или
R
cos ур — — cos ^ — 2 = 0. т
(17.27)
Направление асимптоты в нашей системе координат определяется углом ур, значение которого находится из уравнения (17.27), имеющего два решения:
cos ур
R Г~Р} = — ± V—г +2-
2т 4 т2
Однако из этих двух решений, в силу неравенства | cos ур | < 1, нужно взять только одно значение, а именно
