Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Обратимся к распространению света в пустоте. Пусть Kol- мировой волновой вектор, со — циклическая КИ-частота излучения. Тогда
сК° CKi . ^dxi
со =----, Oti =-, а' =-, du =cdT.
yj-g00 со du
Мировые линии распространения света в КИ-форме имеют вид
1 ^dco / / 1
+ DijOL1OL1 - — FjOLj = О,
^dpk
со dt
1 ^d(CMk) k . . h ' 1 Ir
----- + CAiiOL1OLi + 2 DiOL1--Fk = 0.
со dt 11 с
154§ 14.4. Уравнения закона энергии и импульса и уравнения Эйнштейна в кинеметрически инвариантном виде
Пусть Ttiv - мировой тензор энергии-импульса, р - КИ-плотность массы, J1 - КИ-плотность потока массы, равная плотности импульса (рс2 -КИ-плотность энергии, J1C2 - КИ-плотность потока энергии), Ulk - плотность потока импульса, U=Ul. Тогда
7-00 Ггр0
1 Llt TT
Чк-
P =--— , Ji =--1 , Uik = с2 Tik
g \/-g00
Уравнения закона энергии и импульса в КИ-форме имеют вид ^ Эр Э t ^bJk
bt
. + _L DijUu + [ - ^У ]- -^FjJj = О,
+ DJk + 2Di Ji + [ (vі —Fi^Uik ] ¦- pFk = 0.
В прямые скобки заключены КИ-выражения для физической дивергенции Jk и Uik.
Уравнения Эйнштейна, разрешенные относительно тензора Риччи в КИ-форме, приобретают вид
^bD 1 к
-+ DnDjl +ViFj--, FiFj =--(рс2 + U) + Ac2,
bt ' 1 с2 1 2
Vf(HijD-Dij) = KJi9
-^l - 2DiiD1k + DDik + ViFk--lJFiFk - C2Hik =
bt с1
= J (pc2hik + 2Uik - Uhik) + Ac2Htk.
В заключение можно отметить следующее:
1. Условия вещественности КИ-величин dr и du записываются в виде goo <0) googn -(^01)2 <0) <0) g-i <0 Эти сигнатурные КИ-ус-ловия отличаются от обычных, хронометрически инвариантных, заменой g?V и g на g?V и g-1.
2. КИ-аналоги ХИ-соотношений и уравнений можно получить, заменив все ХИ-операторы КИ-операторами, положив Aim =0 и придав всем обозначениям смысл, который они имеют в настоящей главе.
3. В системе координат, в которой всюду ?Гоі = 0> КИ-величины совпадают с одноименными ХИ-величинами.
Аппараты ХИ- и КИ-величин допускают единое общековариантное обобщение, основанное на введении поля одиночных (и единичных) мировых векторов — монад.
155ГЛАВА 15
ОРТОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА МОНАДНОГО ФОРМАЛИЗМА
§ 15.1. Ортометрические величины
Аппарат хронометрически инвариантных величин допускает общекова-риантное обобщение, включающее в себя такое же обобщение аппарата кинеметрически инвариантных величин. Общековариантное обобщение аппарата ХИ- и КИ-величин будем называть ортометрической формой монадного формализма. Для ХИ- и КИ-величин существен фиксированный выбор соответственно линий времени (V = const) или пространственных сечений (х° = const). Для ортометрической формы монадного формализма существен фиксированный выбор поля монад - мировых векторов (Ъа или Ьа) постоянной длины (ЬаЬа = const), вообще говоря,времениподоб-ных. В системах координат, в которых b* = О или bt = 0, монады соответственно касательны к линиям времени или ортогональны к пространственным сечениям.
Пусть поле монад задано. Будем назьюать анаметрическими величины р • • •
Qp... , имеющие координатные значки, свертывание по которым с монадами дает произведения, не равные тождественно нулю (b?Qp... Ф 0 или bvQp... Ф 0). Величины, не имеющие таких значков (так что Ъ fiQp... =0,
bvQp... =0), включая инварианты, будем называть ортометрическими. Заметим, что мировой фундаментальный определитель g = | g?u | является составляющей анаметрического тензора восьмого ранга.
В ортометрической форме монадного формализма преимущественны ортометрические тензоры и другие ортометрические величины. В качестве существенных составляющих любой ортометрической величины можно принять ее пространственные составляющие, остальные составляющие выражаются через них (или обращаются в нуль) в силу условий ортометрич-
ности b?Qp ... =0, bv Qp ... = 0. При bl = 0 или bf = 0 пространственные составляющие ортометрического тензора образуют ХИ- или соответственно КИ-тензор, и обратно: ХИ- или КИ-тензор может быть дополнен до ортометрического тензора. Таким образом, ортометрические тензоры можно рассматривать как четырехмерное представление или обобщение трехмерных ХИ- и КИ-тензоров.
Определим о рто метрическое пространство, вообще говоря, неголоном-ное, как совокупность локальных трехмерных пространств, ортогональных к монадам. При b1 = 0 оно совпадает с пространством отсчета (см. §13.3), bt =0 - с пространством сечений (см. § 14.1).
Тензор энергии-импульса выберем так, чтобы его след при скоростях V < cj\J3 был отрицателен. Ортометрические величины будем называть и обозначать так же, но с заменой латинских индексов греческими, как и ХИ- и КИ-величины, обобщением которых они являются.
156Положим ba = і- , тогда baba = -1 и составляющие времениподоб-
ds
иых (ds2 < 0) монад вещественны. Для них примем Ь° > 0, тогда Ь0 < 0. Для ортометрического фундаментального тензора h?v имеем
h?v=g?v+b?by9 h^g^+b^, h?v=g?v+b?bv, A>3, IVI = 0' І<1 = 0, I А"" НО.
Свертьшание ортометрической величины с Hlilfi h?v равносильно ее. свертыванию с g?v, g?, g?v.
Если Qp ... р — анаметрический тензор ранга п, то Т& ... = Ь0 • • • b р • • • ''' ha • - - hvQ? ...р- ортометрический тензор ранга п - т, где т — число индексов, по которым анаметрический тензор свернут с монадами (по остальным п - т индексам анаметрический тензор свернут с ортометри-ческим фундаментальным тензором).