Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Ac" dxv
ds ds
(17.1)
= 0,
(17.2)
(17.3)
(17.4) запишем следую-
{—)' tfiK—)' **"»(—)'
\ ds / \ds/ [V ds / \ds / і
= 1.
(17.5)
Вместо уравнений (17.2) - (17.4) можно пользоваться уравнениями (17.3) - (17.5). Уравнение (17.1) можно почленно поделить на dt/ds,
171 так как траектории движения свободных частиц (планет) — ненулевые геодезические: значит,dt ФО,ds ФО. Тогда (17.1)приобретает вид
d ( cdt \ d
— ( In -)+ — Inep=O. (17.6)
ds V ds ' ds
Из уравнения (17.6) получим первый интеграл: dt
ev с — - к- const. (17.7)
ds
В начальный момент времени t = t0 рассматриваемая частица имеет некоторое начальное положение и начальную скорость. На начальные условия не будем накладывать никаких ограничений, т.е. не будем выбирать определенным образом начальные условия, а выберем систему координат. Выберем нашу полярную систему координат так, чтобы частица в начальный момент находилась в основной, экваториальной, плоскости, тогда Q о = я/2. Этим система координат не определяется однозначно, так как ее можно поворачивать вокруг радиуса, проходящего через нашу частицу в начальный момент времени. Выберем систему координат таким образом, чтобы выполнялось еще одно условие: (dO /ds)0 = 0, тогда вектор начальной скорости частицы будет лежать в основной плоскости. Еще раз подчеркнем, что условия O0 = я/2, (de/ds)0 =0 представляют собой не выбор начальных данных, а выбор соответствующей системы координат.
Поскольку O0=Ti/2, (dOfds)o = 0, то из уравнения (17.3) следует равенство (d26/ds2) о =0. Последовательно дифференцируя уравнение (17.3), легко можно убедиться, что если в начальный момент Q0 = я/2, (dO/ds)о =0, то в начальный момент равны нулю производные любого порядка от Q по S. Решение будем искать в классе аналитических функций. Тогда Q можно разложить в ряд Тейлора, в котором все производные от в по S в начальный момент равны нулю, поэтому Q=Q0= я/2.
Итак, если в начальный момент вектор скорости частицы лежит в основной плоскости, то в любой другой момент времени он также будет лежать в этой плоскости. При учете этого факта уравнения (17.4) и (17.5) существенно упростятся:
d2Kp 2 dr dy
ds г ds ds
Координата ур представляет собой угловую координату - долготу. Может ли частица двигаться таким образом, что координата \р остается постоянной? — Может. Поскольку Q =const, то при \р =const получается радиальное движение частицы. Пока этот случай рассматривать не будем, поэтому будем предполагать, что dyIdsiz 0. Разделим уравнение (17.8) на dsp /ds:
d ( dsp\ d _
'ч к (Inr2) = O.
ds
-U *). І.
V ds / ds
172 Отсюда получим еще один первый интеграл — интеграл площадей: „ dip h
т^ — = — =COnst. (17.10)
ds с
С учетом первых интегралов (17.7) и (17.10) уравнение (17.9) можно представить в виде
О—
Исключив зависимость г от s, радиальную координату г можно рассматривать как функцию угловой координаты ip; тогда
dr dr dip h dr
ds dtp ds er2 dip
Вместо радиальной координаты г введем величину и = 1/г; тогда du Xdr dr h du
dip r2 dip ' ds с dip
Нам осталось решить уравнение (17.11), которое запишем так:
С
,dip/ \ H2Ih2
Заметим, что Л, к - мнимые величины. Действительно, в силу ds2 < 0 из (17.7) и (17.10)легко получить, что h2< 0, к2 < 0. Введем вещественные величины h и к по формулам h2 =-h2,k2 = -к2.Тог да последнее уравнение примет вид
fdu Y ,Л C2N k2C2
( - ) +^[и2 + —)--— = 0.
Kdip / \ h2 } h2
Поскольку в решении Шварцшильда (16.7) ev = I - !т/г = 1 - Imuy
то
(du/dip)2 +(1-2 ти)(и2 + с2 /h2) - к2с2 /h2 = 0.
Дифференцируя это уравнение почленно по ip, получим
du d2u / . с2 \ du du
2— -г- — 2т[ и + — )-— +2(1-2ти)и — =0. (17.12)
dip dip1 \ /г / dip dip
Однако при дифференцировании может появиться лишнее решение, удовлетворяющее уравнению du!dip = 0, — круговое решение. Ниже мы покажем, что круговое решение содержится в общем решении, которое мы получим.
173 Уравнение (17.12) распадается на два уравнения : du
при — =O w = const или г = const; d^p
du
при - Ф0
dsp
d2u с2 \
-тій2 + — )+w(l - 2ти) = 0. (17.13)
dsp
Уравнение (17.13) в предположении du/dy = 0 также выполняется, поэтому можно утверждать, что первое решение удовлетворяется вследствие второго решения. Однако не везде возможно круговое движение. В достаточной близости к гравитационному радиусу стационарных круговых орбит не существует.
Как известно, в ньютоновой теории тяготения для задачи о движении пробной частицы (планеты) в поле тяготения центрального тела (Солнца) с массой и имеет место уравнение
d2u ур
решение которого записывается в виде у/і
w= —— [1+ecos(^-^o)]. (17.15)
In
В релятивистском случае, как легко видеть из (17.13), имеем уравнение
du тс
-r'+w= -г- + Зти , (17.16)
dy h
которое отличается от нерелятивистского уравнения (17.14) членом Зти2. Этот добавочный член является релятивистским, так как при с он стремится к нулю, поскольку т = y\i\c2.
Решение релятивистского уравнения (17.16) будем- искать методом последовательных приближений, хотя в эллиптических функциях можно получить и точное решение. Естественно возникает вопрос: можно ли применить уравнение (17.14) в качестве уравнения первого приближения, т.е. можем ли мы пренебречь членом Зти2 в уравнении (17.16)? Найдем погрешность, которая возникает при пренебрежении членом Зти2. При оценке погрешности будем считать орбиты круговыми, тогда из (17.16) получим
