Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Vc^ = у/\ - 2ФIc2 * 1 -ФIc29 тогда из (17.31) следует
1-Фе/с2 / Фе\ / ФА Фг-Фе
бсо _ 1 -Фel<f __ / Фе\ / Фг\
^ 1 - Фг/С2 V C2 /\ С2)
с2
Таким образом,
б со/со = (Фг-Фе)/с2 ; (17.33)
аналогично, из (17.32) имеем 6Х/Х = (Фе-Фг)/с2.
Если излучение испущено Солнцем и принимается на Земле, то потенциалом гравитационного поля в точке приема можно пренеб^чь по сравнению с потенциалом гравитационного поля в точке излучения. Тогда б со/ со = -2,12- IO"6.
Для системы Сириус В (белый карлик) и Земля имеем б со/со = -6 • IO"5.
Отношение бсо/со, характеризующее смещение спектральных линий в гравитационном поле (эффект Эйнштейна), не зависит от частоты со. Эффект Доплера также приводит к смещению спектральных линий, при котором бсо/со не зависит от частоты со. Эффект Эйнштейна можно характеризовать эквивалентной скоростью для эффекта Доплера, который приводит к такому же значению бсо/со. Тогда для системы Солнце (источник) - Земля (приемник) эквивалентная скорость равна 0,6 км/с, а для системы Сириус В — Земля - 20 км/с. Измерения красного смещения спектральных линий, излучаемых Солнцем, дают различные значения в зависимости от выбранной точки поверхности Солнца. На краю Солнца наблюдаемое и теоретическое значения бсо/со практически совпадают, но к центру диска Солнца наблюдаемое значение уменьшается и в центре диска Солнца равно нулю. Это, по-видимому, объясняется существованием на Солнце вихревых токов, которые приводят в движение вещество, и из-за этого движения вследствие эффекта Доплера возникает фиолетовое смещение. В центре диска Солнца фиолетовое смещение спектральных линий из-за эффекта Доплера компенсирует красное смещение спектральных линий из-за эффекта Эйнштейна.
10* 184 Эффект гравитационного смещения частоты, определяемого формулой (17.33), надежно установлен в спектрах звезд, измерен с точностью до 1% в лаборатории и с точностью до 2 • IO"4 в условиях космического полета.
ГЛАВА 18
ПРОБЛЕМА ГРАВИТАЦИОННОЙ ЭНЕРГИИ И ГРАВИТАЦИОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ПОЛЯ В ЛИНЕЙНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
§ 18.1. Псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля
Законы сохранения энергии и импульса в специальной теории относительности в галилеевых координатах, как известно, могут быть записаны в виде
ЪТ?V ЭГд
-— =0, или -т- = 0,
Ъх" bxv
или
1 Э (T^VrI) = 0, (18.1а)
sT-1 ^
(^VDsb о. (18.16)
или
1 Э
V=T а*'
Все эти формы записи в галилеевых координатах эквивалентны. Заметим, что в галилеевых координатах g = -1.
В общей теории относительности уравнения закона энергии и импульса записываются в общековариантной форме:
? „Г"" = 0, или UvTZ=O9 или
!— Д (^4/^) + 1^7- = 0, (18.2а)
Эх
или
1 Э
—=—T(T^yTg) - = 0. (18.26)
V=T ах
Наличие второго, добавочного, члена в правой части равенств (18.2) и создает известную проблему закона сохранения энергии и импульса при наличии гравитационного поля.
184 Вернемся к специальной теории относительности. Законы сохранения (18.1) можно записать также в виде
ЭГМ° Э T^
t^r-0- (18-3>
или
ът1 Э т!
= 0.
Эх0 Эх>
Возьмем фиксированный трехмерный объем V и проинтегрируем равенство (18.3) по этому объему. Тогда получим
Э Л ЭГм/
— fT»0dV+f-—rdV=0. (18.4)
Эх0 V V Эх7
Здесь оператор дифференцирования Э/Эх0 вынесен за знак интеграла, что возможно, так как пределы интегрирования фиксированы. Второй интеграл в левой части (18.4) можно преобразовать в интеграл по поверхности а, охватывающей этот объем:
ЭГМ/
/-т— dV= f T?JdOj.
V Эх' а
С учетом этого равенство (18.4) приобретает вид
; T^dV + ф T^dai = O. Эх V о '
Аналогично можно получить
Э
/ TpdV +f TpdOf - 0. ox V °
Если на границе области интегрирования = 0 или T^1 = 0, то соответственно получим
Q
—- / T^dV= 0, т.е. / T^dV= const, (18.5)
Эх0 V V
или
Э
-/Tm0JF= 0, т.е. Jr°JK=const. (18.6)
Эх V V
В специальной теории относительности эти две формы записи в галилеевых координатах эквивалентны. Заметим, что T00OnpeflenfleT плотность массы,
T0J — плотность импульса, Tik — плотность потока импульса.
Таким образом, если на границе области интегрирования Гм/ = 0, то в СТО получим закон сохранения энергии и импульса в интегральной форме (см. (18.5), (18.6)). Если на границе области интегрирования нет потока энергии, т.е. T0J = 0, то сохраняется энергия системы. Если на границе области интегрирования нет потока импульса, т.е. Tij = 0, то сохраняется плотность импульса системы.
185 В ОТО уравнения закона энергии и импульса невозможно записать в форме (18.5) или (18.6), возможна только форма (18.2), так как мешает дополнительный член, содержащий Г ^v — при негалилеевой метрике в любой конечной области его невозможно обратить в нуль. Негалилеевый характер метрики означает наличие неустранимого гравитационного поля. Таким образом, на первый взгляд кажется, что законы сохранения энергии и импульса при наличии гравитационного поля не имеют места. Так ли это на самом деле?
Тензор T11 v есть тензор энергии-импульса материи и силовых полей, за исключением гравитационного поля. В специальной теории относительности гравитационное поле не учитывается, и вся энергия и импульс системы сводятся к энергии и импульсу материи и силовых полей, кроме гравитационного поля, поэтому энергия и импульс системы описываются тензором Tflv. В равенства (18.5) и (18.6) не входят величины, описывающие энергию и импульс гравитационного поля. Поэтому уравнения закона энергии и импульса всей системы при наличии гравитационного поля не могут быть записаны в форме (18.5) или (18.6). Естественно возникает вопрос: нельзя ли ввести величины, характеризующие энергию и импульс гравитационного поля? Может быть, тогда удастся записать законы сохранения энергии и импульса системы с гравитационным полем. Оказалось, что, действительно, можно ввести величины, которые позволяют записать законы сохранения энергии и импульса системы в виде (18.1), следовательно, и в интегральной форме. Эти величины составляют псевдотензор. Псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля обычно обозначают через t?V или . Его вводят таким образом, чтобы законы сохранения энергии и импульса системы записывались в виде
