Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
і1/2
Эх" Л Эх"Эх"
)
Очевидно, bgfivlbxa = Э JfivIbxa. Значит, bgfiv/bxa также малы. Тогда малы и символы Кристоффеля Гду, поэтому квадратами величин Г^v будем пренебрегать. Заметим, что символы Кристоффеля ведут себя как тензоры по отношению к линейным преобразованиям координат.
Пренебрегая членами второго порядка малости, тензор Риччи можно записать в виде
Gfiv---
Э
эг
?V
эг,
Ma _
Эх* Эх"
Э
2 * \ dx? Эх"
)Ь
? dy^? Ьуі
flV
Эх" Эх1
Эх"
)]
дТа/L bx?
188 - П и )о + о
2 2 Введем вспомогательные величины
V V 1 _ V VV
Эх"Эх" Эх"Эха Ьх"Ъха J
I v " ^M =Tm 2
Тогда
ЬФІ _ ЭТд
Эх" Эха
ъ2К
dx?dxa Э
э2K _ Ь2УІ 1 а27
Э2т" 1 Э27
Пользуясь этими соотношениями, тензор Риччи можно записать в виде
Очевидно, наша система координат выбрана с точностью до первого порядка Jfiv. Можно выбрать систему координат таким образом, чтобы в ней выполнялись четыре условия:
-—?- = 0. (18.11) Эх* 1
Покажем, что такой выбор системы координат возможен. Сделаем бесконечно малые преобразования координат:
*e =ха + Г\ (18.12)
где %а = ?а(х°, xі, x2, x3), причем Iа и Ъ^aIbxis - бесконечно малые величины. Производные Э?°7Эх" будем обозначать через % . ?. Как известно, фундаментальный тензор g?V преобразуется по формуле
_ Эх01 dx?
(18лз)
При бесконечно малых преобразованиях координат новые значения ga? будут Мало отличаться от галилеевых значений, поэтому можно считать, что
Sa? = (ga?) О + la? = (ga?)o + У a?-
Тогда из (18.13) с учетом (18.12) получим
^ Ol Ol ? ?
УIiV = - (g?v)О + [(ga?)o + 7a?] + (Sv + {„) « Siiv + + y?V9
где по обозначению ?a = (gay)0?ат = —~ .
OXt
Таким образом, y?V = y?V + ??V + или y?V - y?V = ^fiv + отсюда
189 Очевидно,
ФІ = 7Ї - Щу = + %% - Щ ~У - °а =
= -ва- (18-14)
Тогда
ЪФЪ _ ьфі | ь%;а + ь%°.і
дха дха дха дха дх" или с учетом
а
= ^L
° q° дхс
^a = ^a = So =
получим
ЬФЇ _ э
Эх" Эх"
Итак,
Эх" Эх"
dxadx? дхадх" дх"дха
Эх"Эх" '
Всегда можно выбрать таким образом, чтобы составляющие ?и удовлетворяли волновому уравнению с правой частью. Выберем ?м так, чтобы они удовлетворяли уравнению
(1815)
э2
где (gap)o-т- есть обобщенный оператор Даламбера. При таком вы-
Эх"Эхр
боре имеем 9i/>"/9x" = 0. Однако нам нужно, чтобы выполнялись равенства Э^/Эх" = 0. Найдем связь между 9i/>"/9x" и 9і//"/9х" при преобразовании координат по формулам (18.12):
ЪФ1 _ Ьф% Ъх° _ ЪФЪ 0 0 Ъф% Ъф% 0
Отсюда при ? = а получим
дхл дха + дха Поскольку и дф?/дха бесконечно малые величины, то произведение ЪК а
^e есть бесконечно малая второго порядка, следовательно, с точ-
дх
190 ностью до бесконечно малых второго порядка выполняется равенство
Эдг" дха
Значит, при выборе удовлетворяющих раненствам (18.15),. в новой системе координат дф%1дха =0.
Таким образом, мы всегда может выбрать систему координат, где выполняется условие (18.11). В дальнейшем будем предполагать, что в нашей системе координат эти четыре условия выполняются. Тогда согласно формуле (18.10) с точностью до бесконечно малых второго порядка имеем
и
G=4ga?)o т-^ГТ- (18Л7>
ЪхлЪх
Тогда смешанный тензор Эйнштейна приобретает вид Et-Gt- V^G-
Следовательно, уравнения Эйнштейна с A=O в нашем приближении есть или, в развернутом виде,
или
/ э2 э2 э2 э2 \ „
(- +-+---) ф" = -2кТЦ9
W2 дх2' Эх3 2 С Wm
(Г-ТЇУ-"*-
Если ввести оператор Даламбера, то уравнения Эйнштейна в нашем случае можно записать в виде
(18.18)
* 1 э2
где D = V2--— --оператор Даламбера.
В пустоте уравнения Эйнштейна принимают вид
Пф*=0. (18.19)
Однако в пустоте Gfiv = 0, поэтому последнее соотношение эквивалентно соотношению
?7м = 0. (18.20)
Таким образом, в линейном приближении уравнения Эйнштейна переходят в волновое уравнение. Как видно из (18.20),гравитационные вол-
191 ны, подобно электромагнитным, распространяются в пустоте с фундаментальной скоростью. Равенства (18.18)-(18.20) тем точнее, чем слабее гравитационное поле. В малой области пространства-времени уравнения Эйнштейна переходят в уравнения (18.18) или (18.19) также и для сильных гравитационных полей.
Рассмотрим случай плоской гравитационной волны в пустоте. Выберем координатные оси таким образом, чтобы ось х1 совпадала с направлением распространения волны. Тогда имеем
/а2 1 а2 \ „
/ Э2 1 э2 \ „
Wt-^iw*"0- (,8'22)
Однако ф ? удовлетворяют четырем условиям (18.11):
ъф%
Ъха
0.
В силу того что в нашем случае величины ф? зависят только от х° и X1, эти условия приобретают вид
—f-+-f- = 0. (18.23)
cbt bxl
Пусть гравитационная волна распространяется в положительном направлении оси xі. Тогда решением уравнения (18.22) является функция Фц^Фрі*1 - Ct). Очевидно, ЪФ1 _ ЪФ1 дх1 cbt
С учетом этого равенство (18.23) принимает вид ЪФ1 Ъф1 cbt cbt Интегрируя это уравнение, получим
Ф1-Ф U(x1tx2tx3)9 где функции /м описывают стационарное гравитационное поле, не зависящее от t. Поскольку нас интересуют гравитационные волны, то мы можем положить /ц тождественно равными нулю. Тогда фц = фр.
