Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зельманов А.Л. -> "Элементы общей теории относительности" -> 73

Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.

Зельманов А.Л., Агаков В.Г. Элементы общей теории относительности — М.: Наука , 1989. — 240 c.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка): elementiobsheyteoriiotnositelnosti1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 89 >> Следующая


(18.41)

C1Tq

Для вычисления интегралов (18.41) воспользуемся уравнениями (18.38). С учетом равенств

^ = GrvoVflfll

ИЛИ

^ = (S0ol)OTfi0l = - TfiQ9 ТЇ = (^0Vjia = Tfii

197 уравнение (18.38) записывается в виде Эги0 Br11/

--И-=0. (18.42)

Bjc0 Ъх1

Сначала рассмотрим уравнение (18.42) при ц = /: ^iQ Эту,- _

--V = O.

bjc0 bjc7

Умножив его на х*, проинтегрируем по области, где находятся массы, создающие гравитационное поле:

/ ^-XkClV= f ^XxkdV. J дх J Bjc7

Считая объем и координаты хк фиксированными, получим

Э * Br./ . В (TiiXk)

-TT f TiOXkClV= f -2- = / JF - f TikClV.

ох ох7 Bjc7

Однако по теореме Гаусса

Ъ (JuXk) „ •

j —LiZ_——dV= фTijX do1.

Наша система тел занимает ограниченный объем. Поверхность интегрирования, окружающую систему тел, проведем через точки, где TiJ = 0. Тогда

^TijXk d Oi = 0.

С учетом этого

frikdV=- — fri0xkdv

OX

Поскольку тік = ткі, то имеем также равенство

f TkidV=-^fTk0XiClV. дх

Сложив почленно последние два соотношения, получим

hikdV= ~-^fiTi0Xk +тк0х') dV.: (18.43)

2 дх

Рассмотрим уравнение (18.42) при ju = 0: Br00 _ Эт0/ Эх0 Bjc7'

Умножив его на x'x*, проинтегрируем по объему системы:

г і к ,т, г 9rO/ / к

/-—xlxkdV= /-i-xlxkdVi

Эх Bx7

198 или

Э . . Это/ . ,

— f T00X1XkClV= f -^xlxkdV =

= J д(Т°'*'хк) dV- JT0iXkCiV-SWiClV дх1

Согласно теореме Гаусса

д(тоіх1хк) . . і

S-^1-- ClV= ^T0lX1Xkdo'.

OX1

Поверхность, окружающую систему тел, создающих гравитационное поле, проведем через точки, где TQj = 0. Тогда

^TQjXiXkClOi = O.

С учетом этого

JT00XiXkClV= - f T0iXkCiV - JT0kXiCiV.

дх" Итак,

JT00XiXkClV= -J(T0ixk + r0kxl)dV (18.44)

Эд:

Из (18.43) и (18.44) получим, что

1 Э2

JrikdV= — —TjT00xlxkdV. (18.45)

2 дх

Таким образом, интегралы от всех Tik оказываются выраженными через интегралы, содержащие только компоненту т00. Однако компонента T00, как было указано в § 18.2, с принятой степенью точности совпадает сГ0о, следовательно, с той же степенью точности она совпадает с р:

T00 = T00=P. (18.46)

Поскольку в нашем случае метрика мало отличается от галилеевой, то Xi = Xі. Тогда равенство (18.45) с учетом (18.46) принимает вид

1 Э2

J т ikdV=---— J PXiX kdV.

2 дх

С помощью этого соотношения из (18.41) имеем

2 Э2

^ik = -T--~г J pXjXkd V (18.47)

с 'с дх V

Мы получили, что гравитационное поле системы тел, находящихся в объеме F, на расстояниях, намного превышающих размеры системы, определяется величинами, которые выражаются формулой (18.47).

На достаточно больших расстояниях от системы тел, создающих гравитационное поле, в небольших областях пространства волну можно рассматривать как плоскую. Для этого надо, чтобы расстояния были велики не только но сравнению с размерами системы, но и по сравнению с длиной

199 излучаемых системой гравитационных волн. Об этой области поля и говорят как о волновой зоне излучения. Плоская гравитационная волна, как было показано в § 18.2, при определенном выборе системы координат характеризуется двумя величинами:

723 = ^23 И 722 - 733 = ^22-^33.

Введем тензор квадрупольного момента масс:

Qik = fp[3xtxk-Ьік{Ьпхіх1} dV, (18.48)

откуда

O2 3 = 3 fpx2x3dv.

Ql 2 - 033 = /p [3*2*2 -Ьцх'х1 - 3*3*3 +6//* =

= 3 fpx2x2dV- 3fpx3x3dV.

Определим, как связаны величины у2 з и у22 — 7зз, характеризующие плоскую гравитационную волну, с тензором Qik. С учетом (18.47) и выражений для Q23y Q22 -Q33 имеем

72 3 =

Э 2O2:

Зс2г0 Э*°

2 Э2

722 -7зз = —2--~г (О22 - Озз).

3 с2г0 Эх

Таким образом, величины, характеризующие плоскую гравитационную волну, испускаемую системой тел, однозначным образом выражаются через тензор квадрупольного момента масс. Из этого следует, что гравитационное излучение носит квадрупольный характер. Дипольного гравитационного излучения нет, так как нет гравитационных диполей и гравитационный заряд (масса) только одного знака.

Как же подсчитать энергию гравитационного излучения? Нерешенность проблемы энергии-импульса гравитационного поля ставит в тупик проблему гравитационного излучения. Ни один из известных псевдотензоров t?V и не может считаться величиной, подходящей для описания энергии-импульса гравитационного поля (см. § 18.1). Однако часто используется тот или иной псевдотензор. Для подсчета энергии гравитаг ционного излучения с помощью псевдотензора энергии-импульса t?v окружают систему тел некоторой поверхностью, например, сферой. Поскольку t?V выражается через ga?, то в конечном счете tвыражается через ya?. В каждой точке поверхности, окружающей систему излучающих тел, вычисляют tol и затем подсчитывают поток энергии через эту поверхность, следовательно, и количество энергии, теряемой системой тел с заданным тензором квадрупольного момента масс из-за гравитационного излучения. Если t— псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля Ландау - Лифшица, то потеря энергии системой в единицу времени за счет гравитационного излучения, как показьюают расче-
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 89 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed