Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
волны. Заметим, что угол (х2, х3), вообще говоря, не является прямым, а отличается от прямого. При прохождении гравитационной волны это отличие изменяется. На основании сказанного можно утверждать, что плоская гравитационная волна является поперечной волной.
Рассмотрим слабое гравитационное поле при наличии материи. Благодаря наличию материи уравнения гравитационного поля будут отличаться от простого волнового уравнения типа (18.19) ? = 0 наличием в правой части членов, происходящих от тензора энергии-импульса. Эти уравнения мы записали в виде (18.18) :
Однако, строго говоря, уравнения Эйнштейна в этом случае нужно записывать в виде
?^ = -2*7^ (18.36)
где rv? есть величины Tjt плюс дополнительные выражения, получающиеся при переходе в точных уравнениях тяготения к случаю слабых полей в рассматриваемом приближении и перенесенные из левой части уравнений тяготения в их правую часть.
Когда тела движутся со скоростями v < с, то величины Т§, ТІ, Ti имеют
разный порядок малости, причем Т$ может иметь нулевой порядок ма-і к лости, T0 - первый порядок малости, a Ti являются величинами второго
порядка малости. Поэтому компоненты т% и Ti0 получаются непосредственно ИЗ соответствующих компонент Tq путем выделения из них величин
10*
195 интересующего нас порядка малости, а компоненты т\ наряду с членами, к
получающимися из Ti , содержат также члены второго порядка малости из G- - Hfifc.
Уравнения слабого гравитационного поля (18.36) по форме совпадают с уравнениями запаздывающих потенциалов. Поэтому общее решение уравнений (18.36) можно записать в виде
» і [2к?; ]
ф^ —Ij-Tl- ClV', (18.37)
4я г
где [А] означает, что значение А берется не в момент t9 для которого вычисляется поле, а в момент t - г /с, причем
г' = \/(х-х')2 +(у-уf)2 +(z-z')2, CiVt = CixtCiy tCiz';
штрихованные координаты - это координаты притягивающей точки, не-штрихованные - координаты притягиваемой точки.
Величины в выбранной системе координат удовлетворяют условию
(18.11) : дф%/дха = 0. Из (18.36) следует, что величины удовлетворяют аналогичному условию:
Эт»
VlT=0' (18-38>
OX
V
которое заменяет здесь соотношение T11 =0.
Из (18.37) видно, что фц определяется интегралом, в подынтегральное выражение которого входит гВеличина фо, по сути, определяет goo,
величины ф{° определяют g0{9 а величины Фі определяют gik. Следовательно, можно сказать, что в выбранной системе координат величина ^0 о порождается величиной т®, величины gof9 которые-характеризуют неортогональность пространства, создаются величинами а величины gJk, которые, по сути, описывают отклонение метрики от евклидовости, определяют-k
ся величинами Ti .
Из рассмотрения решения (18.37) можно сделать следующий любопытный вывод. Пусть массы, создающие гравитационное поле, движутся относительно данной системы отсчета. Тогда компоненты тензора энергии-импульса Гд, имеющие хотя бы один ненулевой индекс ИЗ Ц И V, отличны от нуля. Если есть поток массы, то отличны от нуля Tq. Следовательно, согласно (18.37) отличны от нуля фг0. Стало быть отличны от нуля и 7о, и 70/. В силу того, что yoi = g0{9 отличны от нуля и величины g0{. Если при этом, кроме того, отличен от нуля ротор goi, то появится кориолисово силовое поле. Таким образом, движение масс может создавать кориолисово силовое поле. Рассмотрим следующий пример. Внутри Солнца, вследствие
его вращения, компоненты Го и Т* тензора энергии-импульса отличны от нуля. Следовательно, внутри Солнца и в пространстве, охватывающем его величины goi, gik отличны от нуля. Поэтому система отсчета, находящаяся в поле тяготения Солнца и кинематически не вращающаяся, обладает такими свойствами, что на частицы, движущиеся в этой системе отсчета, действуют силы Кориолиса.
196 § 18.3. Гравитационное излучение
Рассмотрим вопрос об энергии, излучаемой движущимися телами в виде гравитационных волн. Решение этого вопроса требует определения гравитационного поля в "волновой зоне", т.е. на расстояниях, больших по сравнению с длиной излучаемых волн. Общее решение уравнения (18.36), как было указано выше, записывается в виде (18.37) или
„ 47 dV'
< = /№ — • О8-3*)
с г
Будем рассматривать гравитационное поле системы тел на расстояниях, намного превышающих размеры системы. Значение г' для данной точки в
Рис. 21
области интегрирования будет изменяться очень мало, т.е. r\ ^r2 где г о - расстояние от какой-нибудь фиксированной точки, расположенной внутри системы тел (например, от центра инерции системы), до точки В, в которой ищется гравитационное поле (рис. 21). Тогда решение (18.39) Можно записать в виде
*l-4rSK\dr. (18.40)
CjiT0
Еще раз подчеркнем, что если t есть момент времени, при котором вычисляется поле фиЦ9 то величины Tvfi берутся в момент t - г'/с. В дальнейшем для краткости будем опускать штрихи. Поскольку размеры системы намного меньше расстояний, на которых ищется поле, то запаздывание для всех точек системы одинаково, и в (18.40) можно опустить квадратные скобки. Подынтегральное выражение берется в момент t - г 0/с, а вычисляется в момент t:
