Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
' Д [(Tfiv+t»v)sTg] =0, (18.7а) VrI Эх
или
* Д кт!+'?)^/1*] =0- (18.76)
V- g ox
По существу, формулы (18.7) представляют собой определения псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля, причем определения (18.7а) и (18.76) неэквивалентны. Заметим, что были найдены более общие формулы, определяющие псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля:
+ tm-gf] =0 (18.8а)
дх
дх
[(n + t'/)(-g)n] = 0. (18.86)
Псевдотензор Эйнштейна принадлежит к типу (18.86), причем для него Ti = Vi, псевдотензор Ландау и Лифшица принадлежит к типу (18.8а) и п = 1.
Величины t?V Kt^v выбираются таким образом, чтобы равенства(18.8а) или (18.86) были эквивалентны законам сохранения энергии и импульса,
186 записанным в тензорной форме, в силу уравнений Эйнштейна. Такие законы сохранения называются слабыми законами сохранения, их можно также назвать физическими законами сохранения, так как они удовлетворяются в силу уравнений поля - физических уравнений. Были также предложены сильные законы сохранения, которые удовлетворяются независимо от уравнений Эйнштейна. Однако эти законы не соответствуют физическим уравнениям.
Можно указать, по крайней мере, два способа построения псевдотензоров t?v и t?v: а)псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля не содержит вторых производных от g?V и представляет собой квадратичную форму из первых производных от g? v; б) псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля содержит также и вторые производные отg?V.
Псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля не является обще-ковариантной величиной, так как он характеризует данную систему отсчета, ибо в зависимости от системы отсчета будут разными значения энергии, плотности импульса и плотности потока импульса гравитационного поля. Пусть система отсчета фиксирована. Тогда преобразования систем координат, принадлежащих одному и тому же телу отсчета (одной и той же системе отсчета), как известно, имеют вид
х0' =х°\х°,х1,х2,х3), (18.9а)
хґ =/(*1,*2, x3). (18.96)
Псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля должен быть ковариантным по отношению к преобразованиям (18.96) и инвариантным по отношению к преобразованиям временной координаты (18.9а), т.е. его составляющие должны удовлетворять требованиям:
1) —~— ХИ-скаляр по отношению к преобразованиям (18.96),
goo
to*
2) —ZIZZI--ХИ-вектор по отношению к преобразованиям (18.96),
V- goo
3) tlk — ХИ-тензор по отношению к преобразованиям (18.96).
Оказалось, что все предложенные псевдотензоры не удовлетворяют этим требованиям. В силу этого для всех предложенных псевдотензоров получается, что общая гравитационная энергия системы зависит от трехмерной системы координат (а не только от системы отсчета), меняется при изменении трехмерной координатной сетки, что физически бессмысленно.
К. Мёллер показал, что если псевдотензоры энергии-импульса гравитационного поля t?V или t'?v зависят только от фундаментального тензора ga? и его производных, то они не могут обладать трехмерной ковариантностью. Можно показать также, что если законы сохранения записаны в виде (18.8а) или (18.86), то и в общем случае при любом п псевдотензоры
t?V и tpV не могут быть трехмерно-ковариантными и хронометрически инвариантными величинами. Отсутствие хронометрической инвариантности означает, что количество энергии гравитационного поля в некотором объеме зависит от выбора временной координаты, т.е. от того, какими часами
187 мы пользуемся, что физически бессмысленно. Если энергия, вычисленная с помощью t?V или tpV, не обладает таким недостатком, то этим недостатком, оказьюается, обладает или плотность импульса, или плотность потока импульса. Таким образом, ни один из известных псевдотензоров t?V и t'?v не может считаться величиной, подходящей для описания энергии, импульса и потока импульса гравитационного поля.
§ 18.2. Гравитационные поля в линейном приближении
Рассмотрим гравитационные поля в линейном приближении. Выберем систему отсчета и систему координат в ней таким образом, чтобы в некоторой четырехмерной области пространства-времени фундаментальный тензор gpv можно было представить в виде
S?V ~~ QfjLll/)о + JjlVi
где (g?V)о — галилеевы значения фундаментального тензора, а величины Jfiv малы по модулю по сравнению с (g?V)o, т.е. | Jfiv | < | (gMJ,)0l. Каково бы ни было гравитационное поле, в достаточно малой области пространства-времени всегда можно выбрать такую систему координат. Будем рассматривать (g?V)о в качестве метрического тензора, тем самым пространству-времени будем приписывать метрику (Zfiv)0. Тогда величины Jfiv по отношению к линейным преобразованиям ведут себя как тензор в пространст-ве-времени с метрикой (gnV)о. Введем, по определению, величины
y;v = (gvo)oy?o, y=(g?v)o7?v.
Величина J ведет себя как инвариант по отношению к линейным преобразованиям координат. Будем рассматривать случай, когда выполняются условия малости производных Ъ JfivIbxa по сравнению с величинами той же размерности. Потребуем, чтобы были малы не только величины у , но и их первые производные. Величины ^yfivIbxa имеют размерность [см-1], а Э2 Уду/Эх** Эх** - размерность [см"2] .Значит, ^yjivIbxci малы в том смысле, что выполняется неравенство
