Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зельманов А.Л. -> "Элементы общей теории относительности" -> 71

Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.

Зельманов А.Л., Агаков В.Г. Элементы общей теории относительности — М.: Наука , 1989. — 240 c.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка): elementiobsheyteoriiotnositelnosti1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 89 >> Следующая


Таким образом, с учетом того, что гравитационная волна плоская, при нашем выборе системы координат из условий Ьф^Ibxa= 0 приходим к условиям

ФІ = ФІ (18.24)

Таким образом, в случае плоской волны в выбранной системе координат на функции ф? наложены четыре ограничения (1^:24). Всего функций ф? десять, так как существенных составляющих метрического тен-192 зора, описьюающего гравитационное поле, всего десять. Значит, число независимых компонент ф^ равно шести. Однако на ф1^ можно наложить еще четыре ограничения соответствующим выбором системы координат. Причем новую систему координат введем таким образом, чтобы четыре условия (18.24) не нарушались. Покажем, что такой выбор системы координат возможен. Сделаем преобразование координат:

+ ?<*(х° -Xі), (18.25)

где ^0! ? - бесконечно малые величины (по обозначению = Э?а/Эх^), причем — не произвольные функции, а функции от X0 — х1.

Преобразованием координат (18.25) воспользуемся для того, чтобы обратить в нуль четыре величины: ф°І9 Ф з, ФІ +Фз> т.е. тем самым на фрц будет наложено еще четыре ограничения, кроме ограничений (18.24).

Поскольку ?а = ?а(х° -х1), то удовлетворяют волновому уравнению D^a = O. Покажем, что при преобразованиях (18.25) и = = ?а(х° - X1) условия (18.24) не нарушаются.

Ранее при преобразованиях (18.12) были получены формулы преобразования величин ф? (см. (18.14)):

= (18.26)

Рассмотрим преобразование разности ф ? — ф J1 при преобразованиях координат (18.25). Поскольку ?а = ?а(х° -х1), то имеют место следующие равенства:

у О =?-1 t'2 =о ?'3 =0

& =0, =0, (18.27)

K = Si0+H1^ti2+K3 = H0^ti1.

С учетом этих равенств из (18.26) получим

- ФІ = (К - К)+К')+ - - «0°+ а!) (51 - 8D

Поскольку согласно (18.24) фц^ф^, то последнее соотношение можно записать в виде

ФІ - к = - (S-M0 -$V)+ 0 + 1) («I - в D-= = +(SJi-Si)«1.

Правую часть последнего равенства обозначим через q? и вычислим значения q? при д = 0, 1,2, 3 с учетом равенств (18.27) :

?0 = -?о° + S1O +68?;1 = I10 + 1 = - а1 + 1 = о,

^1 = ^0! -el«0 +?;1 -el«;1 = -е?! = -й°=о,

=0, q3 =0.

Таким образом, преобразование координат (18.25) не нарушает равенств (18.24).

Какие же дополнительные ограничения можно наложить на фу преобразованием (18.25)? В формулах преобразований величин ф д (см.

13. A.JI. Зельманов

193 (18.26)) положим д = /= 1,2,3; у = 0. Тогда (18.26) приобретает вид

= + */'°+*V ^ (18.28)

Выберем таким образом, чтобы выполнялись равенства ф* =0. Тогда (18.28) принимает вид

*?=*/0+*°.f. _ _ (18.29)

Но согласно (18.24) ф^ = и легко можно показать, что ф^ = -Фо. Тогда равенство нулю ф? приводит также к следующим равенствам: Й = 0, = 0, ф\= 0, ^13=O, ФІ= 0, Й=0, ^=0.

Последние три равенства эквивалентны равенствам ф? =0 или ф° =0, Ф°2= о, ^03=O.

Таким образом, соответствующим выбором мы семь из десяти существенных составляющих ф? обратили в нуль. Остальные три компоненты есть ф\, ф I, ф\ (заметим, что ф\ =ФІ)- Однако на четыре величины мы наложили только три ограничения (18.29), поэтому на можно наложить еще одно ограничение.

Рассмотрим преобразование компонент ф\9 ф\.Из (18.26) получим

ФІ = ФІ+Ш2+Z2-M0+Si1)-

С учетом (18.27) имеем

Ф\=ФІ-&° +ЇІ1), (18-30)

аналогично

Ф1 = Ф\1-(10°+Ii-1)- (18.31)

Почленно вычтем и сложим соотношения (18.30) и (18.31); тогда

ФІ-ФІ-ФІ-ФІ (18.32)

ф\ + ф\ = фі +ф1- 2Йо° + *). (18.33)

Из (18.32) видно,что разность г//§ - і//3 не зависит от суммы ?<5° +^1'1. Ограничения (18.29), наложенные на не затрагивают величин 0 и ? і1, поэтому мы можем распорядиться их суммой. Четвертое ограничение на величины выберем таким, чтобы выполнялось равенство

ф\ +^33=O. (18.34)

Тогда сумма ?о° 1 будет удовлетворять уравнению

2(^0+?;1)=-^!+^!). _ (18.35)

Из (18.26) при учете (18.27) получим, что ф\ = ф\, Следовательно, нашими бесконечно малыми преобразованиями координат мы добились равенства нулю величин фо, Ф°і, ф2» Фз> Ф\> Ф2> ^ з > ф\ + Фъ- При этих преобразованиях величины фі, ф\ - Ф з остаются неизменными. Легко видеть, что ^2 = ^0+^1 + Ф2 + Фз = 0- определению Фа~Уа - 1^f 7, откуда Фа = - 7. Значит, и 7 = 0. 194 Таким образом, в нашей системе координат ф^ = у?. Значит, ф% = 72» Ф 2 — Фз ~УІ — У З• Вместо у 2 и у 2 — 7з в качестве компонент поля можно рассматривать величины у2 з и у22 ~7зз-

Итак, в нашем приближении плоские гравитационные волны описываются только двумя независимыми величинами 72з и у22 — 7зз- Поскольку величины y?V и g?V связаны соотношениями

Spv ~~ 7pit*

то

72 3 = ^23, 722 - 733 =^22 -^33.

Система координат была выбрана таким образом, что рассматриваемая плоская гравитационная волна распространялась вдоль оси х1. Из сказанного в § 4.2 следует, что величина g2 2 -?зз есть разность квадратов базисных векторов, ориентированных вдоль осей X2 и X39 a ^23 есть скалярное произведение этих базисных векторов. Изменение величин g23 И S22 — Sзз означает, что наша система координат деформируется, причем деформирующая плоскость перпендикулярна к направлению распространения волны. Таким образом, гравитационная волна изменяет расстояния (фиксированные в данной системе координат) в поперечных направлениях, а в направлении распространения волны они не изменяются. Кроме изменения длин вдоль осей X2 и X3 происходит также изменение угла (х2, х3), лежащего в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 89 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed