Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
=__( 1 _ — )c*dt2 + - + г (dO +sin20 dsp2). (16.8)
\ г / 1 - 2 т/г
Что будет, при значениях г <rg1 При г <rg = 2т имеем g0o > 0> Si і <0, а два последних члена в правой части равенства (16.8) остаются без изменений. Перепишем выражение (16.8) в виде
„ / 2т \ _ „ dr2 „ „
ds =( — - 1 )с dt - - + г (dO + sin o dsp2). (16.9)
\ r J 2m/r - 1
При r < 2m разность 2m/r — 1 < 0. Непривычно пространственную координату обозначать через et, а временную — через г, поэтому сделаем переобозначение: г = с7, ct = г. Тогда (16.9) приобретает вид
с2dt2 /2т \ _ . ds = - --- +( - 1 )dr2+c2t2(de2 +sin2O dsp2). (16.10)
2m/ct — 1 \ct J
Таким образом, мы получили выражение для ds2, которое также описывает решение уравнений Эйнштейна в пустоте, так как оно эквивалентно решению Шварцшильда (16.8), но не вне сферы Шварцшильда, а внутри нее. Сигнатура полученного решения такая же, что и сигнатура решения
(16.8), поэтому система отсчета, в которой написано выражение (16.10) для ds2, может быть осуществлена реальными часами и масштабами. Метрика, описываемая этим решением, нестационарна, так как все составляющие, отличные от нуля, зависят от временной координаты. Заметим, что для нестационарности метрики достаточна зависимость от временной координаты хотя бы одной компоненты g?P. Поле, описьюаемое решением (16.10), очень похоже на поле со сферической симметрией. Площадь поверхности сферы на зависит от метрического радиуса сферы г, а зависит от временной координаты t и равна 4яс2^2. Таким образом, фотометрический радиус сферы равен et и не зависит от метрического радиуса г. Как можно представить себе сферу, площадь которой не зависит от метрического радиуса? Рассмотрим пример в случае двух измерений. Возьмем
169 сигару (рис. 18).. Аналогом сферы в случае двух измерений является окружность. На участке OA длина окружности зависит от радиуса г — расстояния от начала координат О, но на участке AB длина окружности от радиуса г не зависит.
Каково же поле, описываемое решением (16.10)? Существуют разные мнения на этот счет. По нашему мнению, в обоих случаях можно говорить о центральной симметрии. Однако в первом случае, когда линейный элемент имеет вид (16.8) и г >rgi наряду с центральной симметрией имеет
О
место также сферическая симметрия, а во втором случае, когда линейный элемент выражается равенством (16.10) и г <rgi говорить о сферической симметрии не имеет смысла.
Метрика, описываемая (16.10), осуществляется на ограниченном интервале времени 0<ct < 2т и является нестационарной. Для этой метрики
четырехмерный инвариант G?VOi? G ? va? не только отличен от нуля, но и зависит от временной координаты. Заметим, что для решений уравнений Эйнштейна в пустоте при Л=0, в частности, для решения (16.10), имеем G = 0, GlivGiiv =0.
ГЛАВА 17
ТРИ КЛАССИЧЕСКИХ ЭФФЕКТА ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 17.1. Движение перигелия планет
Рассмотрим движение планет в гравитационном поле Солнца. Можно ли при этом воспользоваться решением Шварцшильда, которое описывает сферически-симметричное гравитационное поле в пустоте? Строго говоря, Солнце не является шаром, а представляет собой эллипсоид вращения, поэтому его гравитационное поле не обладает сферической симметрией. Сферическая симметрия гравитационного поля Солнца нарушается также
170 из-за его вращения. Действительно, если бы даже удалось создать вращающееся тело, обладающее сферической симметрией, то его гравитационное поле не обладало бы сферической симметрией, так как при вращении шара появится кориолисово силовое поле, что приводит к соотношениям got Ф 0. В случае гравитационного поля Солнца отклонение от сферической симметрии из-за вращения Солнца больше, чем отклонение из-за сплюснутости Солнца. Таким образом, поле, в котором движутся планеты вокруг Солнца, не сферически-симметричное. Сами планеты являются протяженными телами, а не точечными. Однако с высокой степенью точности можно считать, что: 1) гравитационное поле Солнца сферически-симметрично, 2) планеты представляют собой пробные частицы. Поэтому при исследовании движения планет в гравитационном поле Солнца воспользуемся решением Шварцшильда; при этом пространственно-временные траектории движения планет будут описываться уравнениями геодезических линий для метрики (16.7).
Уравнения геодезических, как известно, в общем случае имеют вид
d2x«
+ Га
\kv
dx" dxv
= 0.
ds2 ds ds
Из четырех уравнений независимых только три, так как существует связь ds2 =g?Vdx?dxv; поэтому можно пользоваться тремя уравнениями и соотношением ds2 -g^vdx11 dxv. С учетом значений символов Кристоффеля для метрики (16.7), которые получаются из символов Кристоффеля,
приведенных в § 16.1 при X = 0, if = 0, уравнения геодезических принимают вид
dt ds2
+ V
cdt dr
ds ds
= 0,
d г
Isr
d2e 2 dr de
—— + —--- sin в cos в
ds r ds ds V ds
d\p_ Л7"
+ 2
1 dr dB
- — -ctg6—
r ds ds
dy ds
= 0.
Для метрики (16.7) соотношение 1 f! V
щи M образом:
