Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
X" -У2 + 2\'jr = О,
которое при учете (16.5) переходит в тождество.
Для нахождения v воспользуемся равенством (16.3), откуда v + X =
= 2f( 7). Хотя X не зависит от 7, но V9 вообще говоря, может зависеть от t: v = -X + 2/(7), где f (1) — некоторая функция от t. С учетом последнего равенства долучим evdt2 = e~xe2^t^dT2. Введем новую временную координату х° =ct таким образом, чтобы dt = е ^^ t^ dt; тогда ds2 = —e~xc2dt2 +exdr2 -Y г2{de2 + sin2 в dy2).
В координатах метрика стационарна. Все коэффициенты квад-
ратичной формы не зависят от временной координаты. Заметим, что тривиальный случай X' =0 содержится в этом выражении для ds2 как частный случай.
С учетом выражения для ех легко получим
/ а \ dr2
ds2 =.(1 + _ у dt2 +- -Y Г2 {de2 +Sin20 V). (16.6)
\ г / X-Y а/г
Из выражения (16.6) видно, что -#0о =1 + Ф. При достаточно больших г разность между -g00 и его галилеевым значением удовлетворяет неравенству I (—goo) — 1 I ^ I-B этом случае можно пользоваться ньютоновым приближением -gоо=1 -2Ф/с2, где Ф = уц/г. Значит, 1 jYajr = = 1 - 2*уд/ (с2г)9 откуда a = -2уHlc2. Выражение для а получено в предположении больших значений г9 но это равенство между постоянными, поэтому оно справедливо при любых значениях г.
Таким образом, линейный элемент, описывающий сферически-симмет-ричное гравитационное поле в пустоте, имеет вид
ds2 - —evc2dt2 + exdr2 + г2(dO2 + sin2 Є d^)9
е» =e-x = 1-2 уцІ(гс2). (16,7)
167 Всегда можно ввести систему единиц, в которой масса имеет размерность длины. Введем массу т = w/c2, которая имеет размерность длины, и величину rg = 2т = 2уц/с2, называемую гравитационным радиусом. Тогда линейный элемент ds 2 запишем в виде
ds2 =-( 1 \2dt2 + —- +г2 {de2 +sin2Bdip2).
\ г / l~rg/r
При г > rg гравитационные эффекты малы, при г ~ rg релятивистские эффекты становятся определяющими. Для Земли rg =0,443 см, для Солнца rg = 2,96 км.
Что же представляет собой координата г ? Величина г не является метрическим расстоянием: если бы г определяла метрическое расстояние, то в выражении для ds2 второй член был бы равен dr2. Однако во всем остальном она очень похожа на метрическое расстояние. Величина г определяет собой фр то метрическое расстояние. Как же определяется фотометрическое расстояние? Пусть имеется постоянный источник света. При фиксированной светимости источника освещенность, создаваемая этим источником, зависит от расстояния. Известен фотометрический закон обратных квадратов: освещенность, создаваемая источником света, обратно пропорциональна квадрату расстояния до него. Расстояние, которое определяется по освещенности, и является фотометрическим расстоянием. Иначе говоря, г есть радиус неевклидовой сферы, площадь которой равна 4яг2. Метрическое расстояние между двумя точками в пространстве-времени, определяемом линейным элементом (16.7) при в = const, $ = const вычисляется по формуле
dr
I12 = I ,
rI Vl-27?/(rc2)
и не совпадает с фотометрическим расстоянием между этими точками.
Как легко видеть из (16.7), при г =rg = 27м/с2 величины ?Оо-0, ?и =°°. Сфера, определяемая условием г =rg9 назьюается сферой Шварц-шильда. Таким образом, метрика, определяемая (16.7), на сфере Шварц-шильда вырождается. Однако метрика Шварцшильда вырождена на сфере Шварцшильда только в данной системе отсчета, а в других системах отсчета, вообще говоря, она не вырождена, так как на сфере Шварцшильда инварианты тензора Риччи, тензора Римана - Кристоффеля регулярны. В пространстве-времени, определяемом линейным элементом (16.7), существует сингулярная точка — точка, где метрика сингулярна. В ней инварианты тензора кривизны обращаются в бесконечность. Такой точкой является центральная точка г = 0.
Интервал (16.7) описывает пространство-времени вблизи гравитирую-щей точки. Однако он применим и к пустому пространству, окружающему конечную статическую сферически-симметричную систему. Поэтому решение уравнений Эйнштейна,определяемое интервалом (16.7), называется внешним решением Шварцшильда.
Можно показать, что стационарная система отсчета возможна только в областях r>rg. При г < rg метрика нестационарна, и не Существует стационарной системы отсчета.
168 § 16.2. Решение Шварцшильда при г <rg
В § 16.1 было сделано предположение, согласно которому можно ввести (пространственную) радиальную координату г, равную e?t2.Однако не очевидно, что эта координата будет всегда пространственной. Она может оказаться и временной.
Рассмотрим решение Шварцшильда, определяемое линейным элементом
(16.7), и переобозначим координаты. Пространственные и временная координаты неравноправны, так как вследствие псевдоримановости метрики они входят в выражение для ds 2 неравноправно, между ними есть существенное различие. Однако в уравнения Эйнштейна они входят равноправно, различие только в обозначениях: временная координата имеет индекс О, а пространственные — 1, 2, 3.
Решение Шварцшильда нами было получено при сигнатуре — + + +, и оно определялось выражением
/ 2т \ „ „ dr2 _ _
