Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
d Э dx' Э
dt bt dt Эх1
134 его ХИ-обобщение есть *d _ *Э dxi *Э dt dt dT dx'' *d
Таким образом, — есть ХИ-оператор полного дифференцирования. dt
Можно ввести также оператор полного дифференцирования по ХИ-вре-d
мени г: -.
dT
Справедлива следующая теорема. Полная ХИ-производная по времени
•d d
равна полной производной по ХИ-времени: — = — .
dt dT
Действительно
*d *д dx1 *d +
1 Э dx' / д dt + dT Kdxi
dt dt dT dx' 3f
g0і 9 \ 1 Э dx' д goi dx* д
=
00 bt)
cgoo bt) \Г^о bt dT ЪхІ cgo° dT bt На основании (13.5) имеем
got dx* = і _ dt_
cgoo dT V1^ dT
С учетом этого 'получим
*d _ dx1 д dt д _ d
dt dT дх' dT dt dT
Теорема доказана.
Пусть дифференцируемые величины обладают свойствами, позволяющими менять порядок, в котором производятся обычные последовательные дифференцирования по различным аргументам. Достаточное условие для этого — непрерывная дифференцируемость этих величин и их производных. Однако ХИ-операторы дифференцирования не коммутативны:
*Э2 1 *д
= -F1-, (13.8).
dx*dt Э t дх' с2 1 dt
*Э2 *Э2 2 *Э
= -T - (13.9)
dx'dx dx dx' с2 dt
Здесь Fi — трехмерный ХИ-вектор, Aik - трехмерный антисимметричный ХИ-тензор второго ранга. Равенства (13.8) и (13.9) представляют
собой, по сути, определения Fi и Aik. Введем вспомогательные величины —
135 скаляр W и трехмерный вектор Vi (они не обладают ХИ-свойствами) : / W у Vt/ W\
~800 = Y~v) ' goi= VV-VJ-
Тогда Fi и Aik могут быть записаны в виде
C2-W
ZbW дул
(I3J0)
1 / 9 Vk 3 Vi \ 1
"»- IK* - ї^) + ^г«*-'.»». <т,)
Они удовлетворяют четырем тождествам:
я = *дЛі
Bik - Tt
Ік l/*3Fk *bF, \
- * Атг - TT-)m <13Л2)
*ЬАік *ЪАы *ЪАц
Biik = -+ -* + -+
11 Ъх1 Ъх> Ъх
+ 0FiAjk + FjAki + FkAij) = 0. (13.13)
Из этих четырех тождеств независимых только три, так как левые части их связаны одним равенством:
^Bijk * эBik *ЭBkj * ьвп
+ -Г- + -Tl + -Г" = 0.
dt дх1 Ъх1 Ъх
к
§ 13.3. Голономность пространства и интегрируемость времени
Условие = const определяет пространственные сечения. Пространственные сечения могут быть как ортогональными к линиям времени, так и не ортогональными к ним. Что же называется пространством? В СТО и в частных случаях ОТО, когда для данной системы отсчета существуют пространственные сечения, всюду ортогональные к линиям времени, пространством называются именно эти пространственные сечения. Таким образом, в этих случаях пространство данной системы отсчета всюду ортогонально к линиям времени этой системы отсчета.
Если не существует пространственных сечений, всюду ортогональных к линиям времени, то и в этом случае пространство данной системы отсчета можно определить так, чтобы оно всюду было ортогональным к линиям времени этой системы отсчета. Для этого в каждой мировой точке проведем пространственное сечение, ортогональное к линии времени, проходящей через эту точку (что всегда возможно). Элемент пространственного сечения, ортогонального в данной мировой точке к линии времени, назовем локальным пространством. Таким образом, получим многообразие локальных пространств. Это многообразие локальных пространств будем называть пространством. Существует ли огибающая этих пространств? Вообще говоря, нет. Если огибающая существует, то она представ-
136 ляет собой пространственное сечение, всюду ортогональное к линиям времени, и локальные пространства являются элементами этого пространственного сечения. В этом случае пространство назьюается голономным. Если не существует пространственного сечения, всюду ортогонального к линиям времени, то наши локальные пространства не имеют огибающей. В этом случае пространство назьюается неголономным.
Как узнать, существуют ли пространственные сечения, всюду ортогональные к линиям времени, и является ли пространство голономным?
Теорема. Тождественное равенство нулю тензора Aik в данной четырехмерной области есть необходимое и достаточное условие того, что в данной системе отсчета можно провести пространственные сечения, всюду ортогональные к линиям времени, т.е. необходимое и достаточное условие голономности пространства.
Доказательство. Необходимость. Пусть в данной системе отсчета можно провести пространственные сечения, всюду ортогональные к линиям времени, тогда в этой системе отсчета можно добиться всюду равенства нулю величин goi. При goi = 0 также Vi = 0, следовательно, как легко видеть из (13.11), Aik = O.
Таким образом, если в данной системе отсчета можно провести пространственные сечения, всюду ортогональные к линиям времени, то Aik = О, причем равенство Aik = 0 не зависит ни от выбора временной координаты, ни от выбора трехмерной системы координат в данной системе отсчета, поскольку Aik — ХИ-тензор.
Достаточность. Пусть в данной системе отсчета Aik = 0. Покажем, что тогда преобразованием только временной координаты (следовательно, не переходя в другую систему отсчета) величины goi можно обратить
в нуль. Преобразуем временную координату Jt0 = jt°(jt°, Jt1, Jt2, Jt3) и
