Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Как известно, плотность лагранжиана физического поля должна быть инвариантом, составленным из потенциалов поля и их производных. При выводе релятивистских уравнений гравитационного поля будем предполагать, что эти уравнения не содержат производных от потенциалов гравитационного поля (т.е. от g?V) выше второго порядка. Поскольку уравнения выводятся путем варьирования действия, то для получения уравнений, не содержащих производных выше второго порядка от g?V9 необходимо, чтобы плотность лагранжиана Lg гравитационного поля не содержала производных от g?V зыше первого порядка. Однако из одних только величин Яду и dg?vIdxc* невозможно построить инвариант, так как выбором четырехмерной системы координат (а именно локальной геодезической системы координат) можно всегда обратить все величины dg?V/bxa в данной точке в нуль. Но существует инвариант кривизны G9 который хотя и содержит наряду с тензором g?V и его первыми производными еще и вторые производные от g?V9 последние входят только линейно. Благодаря этой линей-
122ности, как будет показано ниже, интеграл fG\J-g dX можно преобразовать таким образом, что
5 $GyTidX^b SQsf^dX9 (12.11)
где Q — выражение, содержащее только тензор g?V него первые производные. Поэтому уравнения гравитационного поля, которые получаются из вариационного принципа при выборе плотности лагранжиана Lg гравитационного поля, равной G (при A=O, А — космологическая постоянная) или G + 2А (при А Ф 0), представляют собой дифференциальные уравнения, содержащие производные отg?V не выше второго порядка.
Введем действие Sg гравитационного поля следующим образом: ?Sg = f(G + 2A)y?gdX9
где 0 = 2 к/с = 16я7/с3. Тогда
?6 Sg = 6 f (G + 2 A)\TgdX = 5/ (GlivgVv + 2 A)V=7dX = = f [G?V ^bgfiv + G^gfiv Ь (V^i) + 2Л6 (V^i)] dX + + Jgfiv V4^G?VdX. Поскольку (см. § 2.6)
bg = gg?>v bg? v = - gg? v ^giЦ]",
bgjg = -g?v Sgfiv9 6 (V^iVV1T= - lAgiiv ^gfiv9
TO
?dSg =
= ^C-A^mJ Sg^V^Id-Y + J^eC^VcIrf*. (12.12)
Покажем, что с помощью теоремы Гаусса интеграл Jgfiv 3G?V \f^~gdX можно преобразовать в интеграл по гиперповерхности, охватывающей весь рассматриваемый четырехмерный объем. Введем вспомогательные
Очевидно,
1 Э— 9w" wv bsf^g (v —? w ) ~
Эх" Эх" V^F Эх"
э э
--0г"а6Г" )+-(г""6Га ) +
bxv V 01 bxv* 0W
Э* Эх" Эх"6Г"а +
эга
123Поскольку Hvg?a = О, то bz?0L
-Л_ = rv (гРа - га
bxv -*v?S K?Z >
—- = _ r? p?v _ rv гPV
bxv ? ? '
С учетом этих равенств имеем
1 а
^./?.t^rjr,,,
¦s'T;,«^ -г»'г»„бг;„-g"r;tsr ;„ -
эг" эга
-^sSlEL + ^gfLiiSL _
дх" а*"
+ ri? ^a - I* - Г«а 81*Л=
/ ага ага ^ \
= ЇІДУ + 01 га _га p?Ue?VbG
g Oy дх* + bxv ^lOLH1 ?v iPaiHvJ S OUfiv.
Итак,
g^SGliv^ ^= ^t yj-g bxv
следовательно,
JgfivSGfiv V^IdX = S (y/=iwv)dX. dx
а _
Согласно теореме Гаусса интеграл /- (\^-gwv) dX может быть
bxv
преобразован в интеграл от wv по гиперповерхности, охватывающей весь рассматриваемый четырехмерный объем, т.е.
S^~v(s/::g^v)dX=§wvdov.
OX
Поскольку на границе области интегрирования вариация поля равна нулю,
то на ней bgмv = 0 и 6 —^ = 0, следовательно, на границе области интег-Ъх
рирования wv = 0. Тогда $wvdov = 0, значит, и fg?V 3G?V \/-gdX = 0. Далее из (12.12) следует, что
06Sg =J IGfiv - VigfivG- Aguv)bg*vyJ^dX. (12.13)
124Покажем, что интеграл f G\f^gdX можно преобразовать в интеграл iQ\T—KdX такой, что имеет место равенство (12.11), и найдем, чему равно Q. Очевидно,
V^iG = VcI^ Gliv =
= ^^ + e»v 3r^a +2"vr? Га -^vTp Г°Л
V + ? ^v в l?alv? S 1IIV1 a?J-
С учетом
^g"" 7?^ " lb '^g"" '~ г» J^r bfotn
получим
sTgG = - ^ г«„) + ^rttP rse) +
+ rs„ ^ (V^*"") - (>/=7*n + +V^i*"" г?а г% - Vc??"" г?„ 1? =
+ г%„ ^ bflgn - ^r (V^iV") + +^^(г^г^-г^г*,).
Учитывая, что
э з*""
= V^r- (?/" + rz?g0»)y/^g, З ,__3 (J^g) ,_Эг""
= -V^i і**"" + (г +1?/")^,
и вводя вспомогательные величины
ff _ /иск ру . „?vrot J A1 да 5 1 да»
125имеем
VrJG = ^T (VcID + V^JПр g?v - Kpg0*1) -
-VrIr^ dV1" - r$?g?v - г^") + + VcIy^rgtt rgg-rjkrgg) =
= ^7 b/^gf) + Tl Tta - Tla I-).
Тогда
SsflGdX = SyflQdX + ; (sflfv)dX,
Эх
где
0 = ^??-^?). (12.14)
Э _
Согласно теореме Гаусса интеграл /- (у—я/1') ^ может быть
dxv
преобразован в интеграл от fv по гиперповерхности, охватывающей весь рассматриваемый четырехмерный объем, т.е.
Г — (sflf)dX = ffvdav. дх
Таким образом,
SsflGdX = S QsfldX + Отсюда
5 S G^fldX = 5 SQfldX + SfTrfa, = = Sf QsfgdX+ ф (8 fv)dov.
Поскольку на границе области интегрирования вариация поля равна
нулю, то нд ней Sgfiv = 0, 5- = 0; следовательно, на границе области
дх01
интегрирования 5fv = 0. Тогда § (Sfv) dov = 0. С учетом этого имеем равенство (12.11):
SSGsfgdX = SSQsfgdX.
Особо отметим, что действие Sg гравитационного поля мы определили посредством равенства
?Sg = S(G + 2A)fldX.
Иногда действие Sg определяют другим соотношением:
?Sg = f(Q + 2A)fldX,
т.е. считают, что плотность лагранжиана гравитационного поля равна Q + + 2A9 но при этом следует иметь в виду, что величина 0, определяемая