Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
т
= (—g о о) 2 O'qo Рп образует хронометрически инвариантный трехмерный контравариантный тензор ранга г— т.
Доказательство. Из закона преобразования четырехмерного смешанного тензора Qa?..'^ ПРИ переходе от одной четырехмерной системы координат к другой следует
°'0'-0' ~Ua?-S Bxо- Bxо' " Э*' " Э*Р'
С учетом того, что системы координат принадлежат одной и той же системе отсчета (т.е. с учетом условия Ъх1 /дх° = 0), получим
ґґ р> аг „ Ox0 Ъх° Ъх° дхґ Эх'" Ъхр
O1 ' "р = QQr -V - ----- Z=
vVo'...о' ^00...0 , , • • • , ^ q Л г •••
Эх0 Эх0 Эх0 дх дх дх
ar v Эх1" Эх'" Ъхр'/Ъх°\т Поскольку -goo = -goo(dx°/Ъх° )2, то (13.4) принимает вид
m т 1.1 і
дх' Ъх' Ьхр
f ' \ 2гк*'1-"р' - ( \ 2 пЧг---v
V S 00/ ^о'о'...о' " ^ О/ ^oo... о
0'0'...0' V ^00...0 bxq bxr ' dxv
т
Таким образом, величины (-g0o) 2 Qoo . . . о преобразуются как трехмерный контравариантный тензор Jik - P ранга г-т. Теорема доказана.
Пользуясь этой теоремой, достаточно легко можно находить ХИ-выра-жения для величин и операторов, если известны их выражения при каком-нибудь специальном выборе координаты времени, осуществимом преобразованием (13.1а) (например, при g00 = — 1» Soi = 0) в данной мировой точке.
Найдем выражения для элементарного ХИ-промежутка времени и ХИ-пространственной длины. 132 Элементарный ХИ-промежуток времени обозначим через dr\ он представляет собой также элементарный промежуток истинного времени.
В системе координат, где ?0о = — Ь Soi = как нам известно из СТО,
cdr = dx°. Но эта величина скалярная по отношению к трехмерным преобразованиям координат и должна быть хронометрически инвариантной. Таким образом, на элементарный ХИ-промежуток времени накладываем два требования: 1) в системе координат, в которой g00 = — 1, g0/ = О,
он должен иметь галилеево значение dx°; 2) при произвольных координатах он должен быть ХИ-временем.
Напишем ХИ-обобщение скаляра cdT, который в данной системе координат равняется dx°. Для того чтобы получить ХИ-скаляр, нужно добиться, чтобы нулевой индекс был внизу, И ПОТОМ поделить на y-g00- Для
этого свернем dxa cg0oin поделим на V-goo, тем самым получим ХИ-обобщение скаляра cdr.
Итак, элементарный ХИ-промежуток времени определяется равенством
cdr = —goct dxa j\J—goo' (13.5)
•Легко убедиться, что найденное выражение для cdr удовлетворяет тем двум требованиям, которые наложены на элементарный ХИ-промежуток времени.
Как же определить выражение для элементарной ХИ-пространственной
длины? В системе координат, в которой g0o = -1» Soi= 0»как нам известно, квадрат элементарной пространственной длины равняется du2 =
= g{kdx'dxk, и он должен быть ХИ-скаляром. Величины dx\ dxk - ХИ-величины, значит, в общем случае du2 = hikdxldxk, где на величины Hik
накладьюаются следующие требования: 1) hik = gik\ 2)hik - ХИ-величина. Подсчеты показьюают, что hik = g^ - goiSok/Soo • Можно это получить также из другйх соображений: поскольку hik должен быть ХИ-тензором, то потребуем выполнение равенства hik = glk, так как gik - ХИ-тензор.
Тогда можно получить, что hik = gik - g0 ig0k/go о •
Итак, элементарная ХИ-пространственная длина du определяется соотношением
du2 = hikdxidxk, где
^ik = gik - SoiSok/goo, причем
hib = g*k9 h = \hik \ = g/goo > 0.
ХИ-тензоры hfk, hik называются метрическими (фундаментальными) ХИ-тензорами, h — фундаментальным ХИ-определителем. Очевидно, при найденных выражениях dr и du линейный элемент ds 2 имеет вид ds2 = -с2 dr2 + du2.
ХИ-скорость Vі движения частицы определяется равенством Vі =dxildr.
133 . . . dxi dxk /du\2 Тогда V2 = ViV = hikvlv - hik--= (—) . С учетом этого
dr dr \dT/
ds2 = -с2dr2 (1 - V2/с2). Если ds = 0, то v2 = с2; следовательно, ХИ-ско-рость света в пустоте всегда равна фундаментальной скорости. Очевидно, ерную скорость иа ДВИЖЄНИ)
dxa 1 dxa
четырехмерную скорость иа движения частицы можно представить в виде
Ua = і
ds cyj\-v2 Ic2 dr
§ 13.2. Хронометрически инвариантные операторы дифференцирования
Пусть некоторая величина Q одинакова во всех точках: ЭQfbxi = 0. Не нарушится ли это равенство при преобразованиях временной координаты: X0 = х°(х°, je1, JC2, X3)? Если равенство нарушится, то оператор Э
дифференцирования -— ХИ-свойством не обладает. При преобразова-
Ъх1
ниях временной координаты имеем
bQ ЭQ Ъха bQ Эх0 bQ Ъхк
BJC1 Ъх" ЭХ1' ЭХ0 ЭХ1' ЭХ* ЭХ'' ' Э Q
Очевидно, из равенства —-г = 0, вообще говоря, не следует равенство
Эх
bQ Э
—^t = 0. Значит, оператор -г- ХИ-свойством не обладает. Можно
Эх1 Эх1
Э Э
показать, что оператор — = с —— также не обладает ХИ-свойством.
bt Эх0
Введем операторы дифференцирования, которые обладают ХИ-свойст-
Ъ Ъ Ъ d вом и при gоо = -1, gо/ = 0 совпадают с — , —— , —у , — . ХИ-опе-
bt Эхи Эх1 dt
раторы дифференцирования будем отмечать звездочками. Можно показать, что
*Э *Э с Ъ
— —г- = . —-, (13.6)
= Э goi Э
Эх1' Эх1' g00 Эх0 ' (13Л)
Оператор обычного полного дифференцирования, как известно, имеет вид
