Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
dx1 _ dx1 _ Vі
P0 "^r "Tit Г'
109то из Pa = const следует, что Vі = const, т.е. вектор трехмерной скорости остается постоянным; следовательно, остается постоянным также v2 = = VfVi. В галилеевых координатах вдоль мировой линии частицы
ds2 =-c2dt2 +dx2 +dy2 +dz2 = - с2 dt2 (1""^) > поэтому
dx1 Wi dx° cdt і
ds су/1 -V2Ic2 ' ds ds Vl - V2Ic2
Отсюда следует, что
dx1 dx° -= const, -= const.
ds ds
dx° dx° С учетом постоянства - из равенств P0 = im0- и P = const сле-
ds ds
дует, что т0 = const.
Таким образом, постоянство вектора четырехмерного импульса в галилеевых координатах означает, что: а)масса покоя частицы остается постоянной, б) частица относительно галшіеевой системы координат движется прямолинейно и равномерно, т.е. имеют место равенства т0 = const, d2 ха
Как же написать эти равенства в общековариантной (тензорной) форме? Общековариантное условие постоянства четырехмерного импульса Pol можно записать в виде (см. § 5.5) DPa = 0. Преобразуем это условие с учетом
dxa
равенств Pci = т0и = im0-. Из условия DPci = 0 следует D(PaPa) =
ds
= 0, т.е. PaPa = const. Но, с другой стороны, с учетом равенства иаиа = -1 имеем PolPol - т\иаиа = -т\. Следовательно, т0 = const, т.е. Dm0 = 0. Тогда DPa = Jti0Dua = 0. Как известно (см. § 6.1), уравнения Dua =
/dxa\
-вЬг)-°
представляют собой уравнения геодезических, которые в
дифференциальной форме имеют вид
d2Xа а dx» dxv
—+ --— = 0- O1-D
ds2 ds ds
Итак, если на частицу не действуют другие силы, кроме инерциальных и гравитационных, то масса покоя частицы остается постоянной, и уравнения движения частицы являются уравнениями геодезических. Таким образом, мировая линия свободной частицы определяется уравнениями геодезических. Если на частицу действует негравитационная сила, то в правой части (11.1) появится соответствующий член, учитывающий эту силу.
Рассмотрим распространение света. Для света можно ввести четырех-
со dxa
мерный волновой вектор Ka =--, где со - циклическая частота,
с du
110и — параметр, отсчитываемый вдоль луча. Как известно из СТО, закон распространения света в галилеевых координатах есть dKa = 0. В общекова-риантной форме этот закон записывается в виде DKa = 0, где D — абсолютное приращение. В ОТО в качестве уравнений распространения света принимаются уравнения DKcl = 0, которые в дифференциальной форме имеют вид
И K0l
— +г" JW = O.
du
§ 11.2. Уравнения закона энергии и импульса
Пусть Thv- тензор энергии-импульса некоторой физической системы. Как известно из СТО, законы сохранения энергии и импульса этой системы в галилеевых координатах записьюаются в виде
дТд Tl
-— = 0 или —тг =0-
дх dxv
Как записать эти равенства в произвольных (криволинейных) координатах? Для этого запишем их в общековариантной форме, что достигается заменой обычных производных на ковариантные:
DvTlip = O или UvT^=O9
где Hv - оператор четырехмерного ковариантного дифференцирования.
С помощью формул для дивергенции в криволинейных координатах (см. § 5.6) имеем
UvTiw= —— + T?v + rv? T^ = zz —TT (V1F тп + T?v9 дх дх
V ^ T? ? V V ? 1 ^ / /- V ? V
nvT?=-—-r?VT? + rQvT? = --^r(\-sT?)-T?VT?.
В ОТО уравнения закона энергии и импульса некоторой физической системы с тензором энергии-импульса T?V могут быть записаны в виде
?„ Tiiv = —l— - VcV=SrТП + г? Т*> = 0 (11.2)
V-ІГ °х
или
?„ TV? = — V tV (VcF T?) - гД т; = о. (11.3)
V-7F дх
Для различных физических систем тензор энергии-импульса имеет разный вид. Тензор энергии-импульса идеальной (невязкой) среды в произвольных координатах может быть представлен в виде
/ ро \ dx" dxv ро
Т^=-(роо --— + fTSliv, (11.4)
\ с / ds ds с
где Poo- плотность массы в системе отсчета, сопутствующей среде, р0 -
111истинное давление. С учетом равенств иа = і- формула (11.4) при-
ds
нимает вид
^" = ^00 u?W + (11.5)
где wM- четырехмерная скорость макроскопического движения элемента объема среды относительно используемой системы отсчета.
Очевидно,
T = Tvv = - (роо -Зро/с2).
След тензора энергии-импульса, взятый с обратным знаком, часто обозначают через P0: Po = -Т. Тогда р0 = Poo - 3 Po/с2 . Если р0 Ф 0, то величины Poo и ро различны. Какие же плотности характеризуют р0 и р0о? Рассмотрим единицу объема среды. Молекулы (частицы), входящие в состав среды и находящиеся в этом элементе объема, движутся относительно среды как целого (т.е. относительно сопутствующей среде системы отсчета). Величина Poo есть, по определению, плотность массы в сопутствующей среде системе отсчета. Она представляет собой сумму масс движения молекул, находящихся в единице объема среды, или, что то же самое, массу покоя всей среды как целого относительно системы отсчета, сопутствующей среде, деленную на собственный макроскопический объем.
Пусть скорости молекул, входящих в состав среды, малы по сравнению с фундаментальной скоростью с (скорость макроскопического движения может быть произвольной). В этом случае изменением массы, обусловленным кинетической энергией движения частиц в среде и энергией их взаимодействия, можно пренебречь по сравнению с массой покоя частиц. При этом давление, определяемое энергией микроскопического движения молекул, также мало по сравнению с плотностью энергии покоя. Таким образом, в пренебрежении движением частиц относительно среды, а также энергией их взаимодействия и давлением, имеем