Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зельманов А.Л. -> "Элементы общей теории относительности" -> 42

Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.

Зельманов А.Л., Агаков В.Г. Элементы общей теории относительности — М.: Наука , 1989. — 240 c.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка): elementiobsheyteoriiotnositelnosti1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 89 >> Следующая


dx1 _ dx1 _ Vі

P0 "^r "Tit Г'

109 то из Pa = const следует, что Vі = const, т.е. вектор трехмерной скорости остается постоянным; следовательно, остается постоянным также v2 = = VfVi. В галилеевых координатах вдоль мировой линии частицы

ds2 =-c2dt2 +dx2 +dy2 +dz2 = - с2 dt2 (1""^) > поэтому

dx1 Wi dx° cdt і

ds су/1 -V2Ic2 ' ds ds Vl - V2Ic2

Отсюда следует, что

dx1 dx° -= const, -= const.

ds ds

dx° dx° С учетом постоянства - из равенств P0 = im0- и P = const сле-

ds ds

дует, что т0 = const.

Таким образом, постоянство вектора четырехмерного импульса в галилеевых координатах означает, что: а)масса покоя частицы остается постоянной, б) частица относительно галшіеевой системы координат движется прямолинейно и равномерно, т.е. имеют место равенства т0 = const, d2 ха

Как же написать эти равенства в общековариантной (тензорной) форме? Общековариантное условие постоянства четырехмерного импульса Pol можно записать в виде (см. § 5.5) DPa = 0. Преобразуем это условие с учетом

dxa

равенств Pci = т0и = im0-. Из условия DPci = 0 следует D(PaPa) =

ds

= 0, т.е. PaPa = const. Но, с другой стороны, с учетом равенства иаиа = -1 имеем PolPol - т\иаиа = -т\. Следовательно, т0 = const, т.е. Dm0 = 0. Тогда DPa = Jti0Dua = 0. Как известно (см. § 6.1), уравнения Dua =

/dxa\

-вЬг)-°

представляют собой уравнения геодезических, которые в

дифференциальной форме имеют вид

d2Xа а dx» dxv

—+ --— = 0- O1-D

ds2 ds ds

Итак, если на частицу не действуют другие силы, кроме инерциальных и гравитационных, то масса покоя частицы остается постоянной, и уравнения движения частицы являются уравнениями геодезических. Таким образом, мировая линия свободной частицы определяется уравнениями геодезических. Если на частицу действует негравитационная сила, то в правой части (11.1) появится соответствующий член, учитывающий эту силу.

Рассмотрим распространение света. Для света можно ввести четырех-

со dxa

мерный волновой вектор Ka =--, где со - циклическая частота,

с du

110 и — параметр, отсчитываемый вдоль луча. Как известно из СТО, закон распространения света в галилеевых координатах есть dKa = 0. В общекова-риантной форме этот закон записывается в виде DKa = 0, где D — абсолютное приращение. В ОТО в качестве уравнений распространения света принимаются уравнения DKcl = 0, которые в дифференциальной форме имеют вид

И K0l

— +г" JW = O.

du

§ 11.2. Уравнения закона энергии и импульса

Пусть Thv- тензор энергии-импульса некоторой физической системы. Как известно из СТО, законы сохранения энергии и импульса этой системы в галилеевых координатах записьюаются в виде

дТд Tl

-— = 0 или —тг =0-

дх dxv

Как записать эти равенства в произвольных (криволинейных) координатах? Для этого запишем их в общековариантной форме, что достигается заменой обычных производных на ковариантные:

DvTlip = O или UvT^=O9

где Hv - оператор четырехмерного ковариантного дифференцирования.

С помощью формул для дивергенции в криволинейных координатах (см. § 5.6) имеем

UvTiw= —— + T?v + rv? T^ = zz —TT (V1F тп + T?v9 дх дх

V ^ T? ? V V ? 1 ^ / /- V ? V

nvT?=-—-r?VT? + rQvT? = --^r(\-sT?)-T?VT?.

В ОТО уравнения закона энергии и импульса некоторой физической системы с тензором энергии-импульса T?V могут быть записаны в виде

?„ Tiiv = —l— - VcV=SrТП + г? Т*> = 0 (11.2)

V-ІГ °х

или

?„ TV? = — V tV (VcF T?) - гД т; = о. (11.3)

V-7F дх

Для различных физических систем тензор энергии-импульса имеет разный вид. Тензор энергии-импульса идеальной (невязкой) среды в произвольных координатах может быть представлен в виде

/ ро \ dx" dxv ро

Т^=-(роо --— + fTSliv, (11.4)

\ с / ds ds с

где Poo- плотность массы в системе отсчета, сопутствующей среде, р0 -

111 истинное давление. С учетом равенств иа = і- формула (11.4) при-

ds

нимает вид

^" = ^00 u?W + (11.5)

где wM- четырехмерная скорость макроскопического движения элемента объема среды относительно используемой системы отсчета.

Очевидно,

T = Tvv = - (роо -Зро/с2).

След тензора энергии-импульса, взятый с обратным знаком, часто обозначают через P0: Po = -Т. Тогда р0 = Poo - 3 Po/с2 . Если р0 Ф 0, то величины Poo и ро различны. Какие же плотности характеризуют р0 и р0о? Рассмотрим единицу объема среды. Молекулы (частицы), входящие в состав среды и находящиеся в этом элементе объема, движутся относительно среды как целого (т.е. относительно сопутствующей среде системы отсчета). Величина Poo есть, по определению, плотность массы в сопутствующей среде системе отсчета. Она представляет собой сумму масс движения молекул, находящихся в единице объема среды, или, что то же самое, массу покоя всей среды как целого относительно системы отсчета, сопутствующей среде, деленную на собственный макроскопический объем.

Пусть скорости молекул, входящих в состав среды, малы по сравнению с фундаментальной скоростью с (скорость макроскопического движения может быть произвольной). В этом случае изменением массы, обусловленным кинетической энергией движения частиц в среде и энергией их взаимодействия, можно пренебречь по сравнению с массой покоя частиц. При этом давление, определяемое энергией микроскопического движения молекул, также мало по сравнению с плотностью энергии покоя. Таким образом, в пренебрежении движением частиц относительно среды, а также энергией их взаимодействия и давлением, имеем
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 89 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed