Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Левая часть уравнений (12.3) содержит тензор Эйнштейна Efiv = Gfiv -— lZignvG, который удовлетворяет четырем тождественным соотношениям: UvEfiv = 0. Согласно уравнениям закона энергии и импульса тензор •энергии-импульса Tfiv также удовлетворяет четырем тождественным соотношениям: UvTfiv- 0.
Возьмем тензорную дивергенцию от обеих частей уравнений (12.3):
U^Gfiv - V2gfivG) + (а + Vi)UMfivG) + bU^fiv = ± KUvTfiv.
С учетом тождества Эйнштейна UvEfiv = 0, закона энергии и импульса Uv Tfiv = 0 и тождества Uvg?V = 0 получим
(a+ ^gfivUvG = O.
Поскольку G — инвариант, то его ковариантная производная равна обычной производной; поэтому из последнего уравнения получим
Э G
(a+ ^gfiv- = 0, дх
или, свертывая с gafi, получим Э G
(* + ?)-= 0. дх
Последнее равенство должно выполняться при любой метрике. Рассмотрим два случая: аф-Vi и a = -1A. д G
Пусть а Ф - Vi. Тогда -—- = 0, т.е. G = const. Что же из этого вытекает?
дха
Свернем уравнения (12.3) почленно с g?V. Тогда имеем G - 2G + (а + Vi)4G + 4b = ± к Tf
117 или
(4а+ 1)? + 4Ь = ±кГ,
откуда следует
Э G ЪТ
(4а + 1)—~=±к —- • ' дха дх*
bG ЪТ
С учетом - = 0 имеем —— = 0. Таким образом, если а Ф -1A9 то
Ъха дх
уравнения (12.3) допускают только такое распределение масс, для которого T = const. Однако известны и такие распределения масс, для которых T Ф const. С другой стороны, нам нужно получить четыре тождественных соотношения между уравнениями (12.3), а при а Ф -1A получается восемь тождественных соотношений: четыре из-за тождества Эйнштейна и
ЪТ
четыре из-за равенств - = 0. Таким образом, с учетом этих обстоя-
Ъха
тельств мы должны предположить, что a = -1A.
Пусть a = -1A. Тогда уравнения (12.3) приобретают вид
Gfiu - 1AgfiuG+ bgfiU = ± KTfiu. (12.4)
Если взять дивергенции левой и правой частей полученных уравнений, то слева получится тождественное равенство нулю в силу тождеств HvEfiu = = OhDvg?U =0, а справа - дивергенция Tfiu, т.е. получим 0 = HvTfiu Значит, дивергенция тензора энергии-импульса равна нулю в силу уравнений поля. Однако равенства DvTfiu =0 представляют собой закон энергии и импульса. Таким образом, уравнения закона энергии и импульса есть следствие уравнений поля. Закон энергии и импульса не является независимым законом, который надо постулировать, а представляет собой следствие закона тяготения.
Свертывая уравнения (12.4) с g?получим
- G = ±кТ-Ab.
Исключив G из уравнений (12.4), получим другую форму релятивистских уравнений гравитационного поля:
Gfiu = ± к(Т*и - 1AgfiuT) + bg^. (12.5)
Из сопоставления этих уравнений с уравнением Пуассона остается определить постоянные Ь, к и выяснить, какой знак стоит перед к.
§ 12.2. Уравнения Эйнштейна и уравнение Пуассона
Сопоставим полученные релятивистские уравнения гравитационного поля с уравнением Пуассона. Естественно возникает вопрос: переходят ли эти уравнения в уравнение Пуассона, если переходят, то при каких предположениях?
Рассмотрим уравнения (12.5) при следующих предположениях. 1. Метрика и системы координат таковы, что составляющие фундаментального тензора мало отличаются от галилеевых значений, т.е. ISuv~ 0Гді>)оІ ^ 1. Это неравенство означает, что потенциал гравитацион-
118 ного поля мал. Выполнения этого неравенства всегда можно добиться, если взять достаточно малую пространственно-временную область.
2. Квадратичные члены, входящие в уравнения поля, малы по сравнению со вторыми производными той же размерности, т.е.
dg?v dga?
ах' Эх' N ЪхкЪх1
Почему мы накладываем это ограничение? Потому что уравнение Пуассона линейно, а полученные релятивистские уравнения нелинейны, они линейны только по отношению ко вторым производным. При этом приближении полученные уравнения рассматриваются в линейном приближении. Физически это предположение означает, что ускорение и угловая скорость вращения системы отсчета малы, т.е. рассматривается случай слабого поля-случай, когда первые производные по х' от g?V малы.
dgpv
3. Поле стационарное, т.е.-— = 0.
дх
4. Скорости движения материи, создающей поле, малы по сравнению с фундаментальной скоростью, т.е.
dx* dx>
ds ds
<t 1.
4. Материя является пылевидной средой, т.е. dx* dxv
Г"" =-Poo-
ds ds
Возьмем ковариантные уравнения гравитационного поля в форме, разрешенной относительно тензора Риччи,
Gliv = ± к (T?V - Vigtiv Т) + bg?V9
и рассмотрим случай ц = 0, = 0 при наших предположениях, когда величинами, стоящими в левых частях соотношений в предположениях 1—5, будем пренебрегать. Таким образом, при наших предположениях рассмотрим уравнение
Goo=±k(Too - Vig00T) ^bg00 ^ (12.6)
Поскольку
__ ЭГ^ ? а э2 In угу Э In V^r
Ьд,= ^a +Ідеї.*+ ІД, ^e >
то
_ ЭГ00 . „g ж.« . ^lnV1T ^a э In V^jr
119 При предположениях 1-5 имеем
ЭГоо ЭГоо 1 Э / . dg00\ ,, и Э2?0о
Эха Эх7 2 Эх' \ Ъх1 J " Эх7Эх Э2 In VcTrr0
Но
П ЭЛГ T-^ э In VcF
Поскольку величины Г0аГ0/з и Гоо-;-состоят из членов, квадратич-
Эх
