Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Координаты SР> t инерциальной системы отсчета и координаты t вращающейся системы отсчета связаны между собой соотношениями ^p = = кр + cot, t = t. Возьмем точку, которая не движется в неинерциальной системе отсчета, т.е. зафиксируем ^p9 тогда d<p/dt = co. Но d<p является одной из составляющих пространственного контравариантиого вектора dx\ значит, dtp/dt - одна из составляющих вектора V1 скорости движения вращающейся системы отсчета относительно инерциальной системы отсчета. Вычислим ковариантные составляющие Vi этой скорости:
Vf=HuVi = H13V3=O9 V2=H23V3=O9 V3=H3iVi = H33V3=H33OO.
ds2 =
-goo = 1-2Ф/с2 » (1-Ф/с2)2.
Очевидно,
^33 -?зз —
Огоз)2 2 CO2T4
goo Г С2(\ -CO2T2/с2) '
103 или в приближении сO1T2Ic1 < 1 имеем H33 «г2(1 + со2г2/с2)^г2.Суче-TOM этого V3 = H33CO = cor1 =g03c, т.е. g03 = V3/c. Таким образом, g0 з -одна из составляющих ковариантного вектора скорости движения вращающейся системы отсчета относительно инерциальной системы, деленная на с. Величины g0i содержат информацию о силах инерции, зависящих от скорости движения частицы, в частности, о кориолисовых силах.
Каково же трехмерное пространство вращающейся системы отсчета? Является ли оно евклидовым? Заметим, что когда мы говорим о не-евклидовости метрики, то имеем в виду релятивистские эффекты, так как в ньютоновой (нерелятивистской) механике метрика пространства всегда евклидова.
Для вращающейся системы отсчета
h\ і =g її -(goif/goo= 1, h12 =0,
hl2 =S22 ~(g02f/g00 = 1, ^23 =0, H13=O,
(go з)2 ''
?3~*33 ?oo C2 (1 - (Jr1Zc1) ~ 1-еO2T1Ic1 '
Легко видеть, что наша трехмерная система пространственных координат ортогональна, так как Iiik =0 при і Фк и только одна из шести величин Hik имеет значение, отличное от значения в евклидовом пространстве. В пространстве нашей системы отсчета вычислим длину окружности и ее зависимость от радиуса. Выражение для квадрата пространственного расстояния между двумя бесконечно близкими точками во вращающейся системе отсчета имеет вид
T1Cly1
du1 =Ciz1 +Clr1 +---—.
1 - со2г2/е2
С учетом того, что уравнение окружности определяется соотношениями Z = COllSt, г = const, имеем
Г Cly
du = -
Vl-CO2T1Ie1 ' Интегрируя по у от 0 до 2эт, получим длину окружности 2яг
0 =
Vl - сO1T1Ic1 '
Поскольку диаметр окружности равен 2г , то отношение длины окружности к ее диаметру равно
Q Я
2r Vl - сO1T1Ie1 '
Вращающейся системой отсчета можно пользоваться только до расстояния г = с/со; при г = с/со длина окружности обращается в бесконечность, линейная скорость движения системы отсчета равна с, а величина g00 обращается в нуль и метрика вырождается. По мере приближения к этой границе, на которой данная система отсчета теряет физический смысл, отношение дли-104 ны окружности к диаметру неограниченно возрастает. Известно, что если Q /2г не равно 7Г, то пространство является неевклидовым. Пространство вращающейся системы отсчета не является пространством постоянной кривизны, так как кривизна пространства в разных двумерных направлениях различна. Можно показать, что кривизна в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, отлична от нуля (отрицательна), а в плоскости, проходящей через ось вращения, кривизна равна нулю.
3. Система отсчета, свободно падающая в одной точке. Рассмотрим жесткую систему отсчета, не вращающуюся и свободно падающую в какой-то своей точке в неоднородном гравитационном поле. Как же она описывается на языке псевдоримановой геометрии? Что же является ее релятивистским обобщением? Пусть потенциал гравитационно-инерциальной силы является аналитической функцией своих координат. Тогда его можно разложить в ряд Тейлора:
/ЭФ \ . 1 / Э2Ф \ . ,
Если потенциал разлагается в ряд Тейлора в окрестности той точки, которая падает свободно, то (ЭФ/Э**)о = 0. При этом значение постоянной Ф0 положим равным нулю (это возможно, так как сила определяется градиентом потенциала и значение постоянной Ф0 не играет роли). Учитывая, что в нерелятивистском приближении -goo = 1 —2Ф/с2, имеем (bg00lbx')0"0 и 1 /32Ф \ . . . ,
Таким образом, в точке, в которой наша система отсчета падает свободно, значения dgoo/dx1 и производных остальных составляющих фундаментального тензора g?v равны нулю (так как остальные составляющие g?v имеют галилеевы значения); следовательно, эта система отсчета является локально-геодезической для данной точки).
Итак, релятивистским обобщением системы отсчета, которая в данной точке падает свободно, а в ее окрестности не вращается и не деформируется, является локально-геодезическая система отсчета для этой точки.
Например, систему отсчета, связанную с Землей, можно назвать локаль-но-геодезической для центра инерции Земли, если пренебречь ее вращением и деформацией.
4. Мировая линия свободной частицы. Мировая линия свободной частицы в пространстве-времени с галилеевой метрикой есть прямая, которая в галилеевых координатах определяется уравнениями d2xu/ds2 = 0. Как же записываются уравнения мировой линии свободной частицы в криволинейных пространственно-временных координатах (если даже метрика пространства-времени галилеева) ? Эти уравнения совпадают с уравнениями геодезических (см. § 6.1):
