Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
d2 ха а dx» dxv
—Г" +гдр--=0.
ds м ds ds
Здесь уравнений всего четыре, но независимых только три, так как есть связь ds2 = guvdx?dxv, поэтому мы рассмотрим три уравнения, для кото-
105 рых а = /, и напишем их в развернутом виде:
d2xl , Zdx0 V , dx° dx1 , dx' dxk
Ьг) '2Г»'1Г—tr"TTlT-0' (101S)
1 dxi
С точностью до коэффициента -, — величины - пред-
ic\f\j- v2/c2 ds
ставляют собой трехмерную скорость. Действительно, пусть V1 — трехмерная скорость движения частицы: vl = dxl\dj. Тогда ее квадрат запишется в виде
ik dx1 dxk du2
V2 =VlV1 = HlkViV =Hlk---— = —Г"'
dr dr d-r
где dr, du - соответственно элементарные промежутки истинного времени и пространственного расстояния, Hxk — фундаментальный тензор трехмерного пространства (см. § 4.2), причем
Soctdxa ^uk __ ^oigOk
dr =--, du = htkdx dx\ Hlk= glk--
cv-^oo goo
С учетом этого
ds2=-c2dr2 +du2 =-c2dT2{\-x?lc2).
Поэтому
dx1 1 dx1 vl
=-1.
ds icy/1 -v2/c2 dr Wl - v2/e2 '
Величины d2xl /ds2 определяют, по сути, ускорение движения частицы:
d2xl ___1 d / V1 \
ds2 " c\J\-v2le2 dr \ cyj\ — je2 )
Заметим также, что
dx° 1 dx°
ds icyjl - V2Zc2 dr откуда с учетом
Soadxa --Л о . Sold*'\
Cdr =-- =V-Jgnn Idxu +-1
у/-go о \ go° '
имеем
dx° 1 / 1 gpi V1 \
ds IyjX-V2Zc2 goo с)'
106
(10.16) Очевидно, уравнения мировой линии свободной частицы в криволинейных координатах (10.15) отличаются от аналогичных уравнений в галиле-евых координатах наличием членов, содержащих символы Кристоффеля. Выясним, какие же силы с точки зрения ньютоновой механики описывают эти члены. Мы ограничимся стационарным случаем — случаем, когда величины g?V не зависят от временной координаты: dg?V/dx° = 0. С учетом этого можно показать, что
г' * W
00 2 ^ дх' '
А.
I(JSL)
Afoo/
/ Sp т\ 1__1_
.« /,J 2 і
rim gOf gok bgQQ goo goo дхт
Здесь A1ik - трехмерные символы Кристоффеля второго рода, составленные из компонент метрического тензора Itiik трехмерного пространства по обычным правилам, по которым четырехмерные символы составляются из компонент g?v; по обозначению (gom/?oo),/ есть частная производная от gom/goo по Xі.
Подставив в (10.15) выражения для символов Кристоффеля Гм„ и dxa/ds, получим
d2xl
1
glj dg о с
ds2
2(1 V-go о
V2/с2) goo Эх'
с( 1 -V2Zc2)
г1к
/goк \goo
) ; Ooо)
, к
V' +
С2(1
v2/c2)
'AjkViVh
(10.17)
Первый член в правой части этого равенства содержит трехмерный градиент CKannpag0O (при трехмерных пространственных преобразованиях координат goo является скаляром). Он описывает силу, имеющую потенциал, причем эта сила при V2 /с2 < 1 от трехмерной скорости движения частицы не зависит. На основании уравнений геодезических, таким образом, убеждаемся, что goo представляет собой аналог ньютонова потенциала.
107 величинами
Второе слагаемое описывает силу инерции, которая является аналогом
кориолисовой силы инерции. При малых скоростях (о2 /с2 < 1) эта сила
линейно зависит от трехмерной скорости движения частицы V1 и угловой
скорости вращения системы отсчета. Угловая скорость представлена здесь
Г (Soк\ {Zoj \ 1 I-J — (-J , которые составляют ротор трех-
. \?оо / 7 \?оо / к J мерного вектора с компонентами goifeoo (см. также гл. 13).
Третий член в правой части (10.17) описывает криволинейный характер трехмерных пространственных координат, который может быть связан с кривизной трехмерного пространства, либо с выбором іространст-венных координат.
Изложенные выше результаты показали, каким образом составляющие фундаментального тензора описывают динамические эффекты в системе отсчета, силы инерции в них и метрику трехмерного пространства. Заметим, что эти результаты получены независимо от вида уравнений поля тяготения. ЧА CTb III ТЕОРИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
Теорию поля, в частности гравитационного, можно разделить на да части: динамику и собственно теорию поля. Основная задача динамики — описание поведения частиц, электромагнитного излучения в заданном поле. Основная задача собственно теории поля — по данному распределению и движению объектов, создающих поле, найти само поле. Здесь самым трудным является установление общих уравнений поля.
ГЛАВА 11
ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ДИНАМИКИ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 11.1. Уравнения движения свободной частицы и распространения света
При решении задач, связанных с поведением частиц и электромагнитного излучения в заданном гравитационном поле, делается следующее предположение:
все законы специальной теории относительности, относящиеся к поведению частиц, излучения, непрерывной среды в отсутствие каких-либо сил, кроме инерциальных, записанные в тензорной форме, справедливы и в общей теории относительности при ,наличии гравитационного поля.
Рассмотрим движение свободной частицы в СТО. Введем вектор четырехмерного импульса частицы Pa = т0иа, где т0 - масса покоя частицы, dxa
Wa = і- - вектор четырехмерной скорости частицы. Как известно из
ds
СТО, в отсутствие каких-либо сил, кроме инерциальных, свободная частица движется так, что в галилеевых координатах выполняются равенства Pa = const. Выясним, что следует из этих равенств. Поскольку
