Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Мы уже выяснили, что произвольное гравитационное поле можно рассматривать как одно из проявлений кривизны пространства-времени. В бесконечно малой области пространства-времени силы тяготения эквивалентны силам инерции. Какие бьюают силы инерции и сколько величин нужно для их описания? Силы инерции, не зависящие от скорости, имеют потенциал и для их описания достаточно одной величины. Силы инерции, подобные кориолисовым, зависят от скорости. Кориолисовы силы инерции с точки зрения ньютоновой механики вызваны тем, что неинерциальная система отсчета вращается относительно инерциальной системы отсчета. Каждая точка этой системы отсчета движется относительно инерциальной системы с некоторой скоростью. Эта скорость различна в разных точках. Таким образом, данная неинерциальная система отсчета обладает полем скоростей. Если система отсчета движется относительно инерциальной системы с ускорением, но без вращения, то ротор скорости движения равен
101 нулю во всех точках. Если система отсчета вращается, то ротор скорости отличен от нуля. Поскольку ротор — величина векторная, то для описания сил инерции во вращающейся системе отсчета необходимо иметь три величины. Таким образом, для описания поля сил инерции разных видов, которое в достаточно малой области пространства-времени эквивалентно полю тяготения, нужно иметь четыре величины.
Кроме того, нужно еще описать метрику трехмерного пространства. Если даже пространство-время галилеево (псевдоевклидово), метрика трехмерного пространства может быть неевклидовой. (Ситуация аналогична геометрии на искривленной двумерной поверхности в плоском трехмерном пространстве. Несмотря на то, что трехмерное пространство плоское, геометрия на искривленной двумерной поверхности неевклидова.) Метрика трехмерного пространства описьюается фундаментальным тензором Hik (см. § 4.2):
й/* =?flfc -goigok/goo, который имеет шесть составляющих.
Таким образом, нужно ровно десять величин, чтобы полностью описать поле сил гравитации (сил инерции) и метрику трехмерного пространства. Именно десять составляющих имеет фундаментальный тензор g?„ прост-ранства-времени. Если составляющих фундаментального тензора прост-ранства-времени было бы меньше, то псевдориманово пространство не годилось бы для описания гравитации. Если бы мы предположили, что метрика более сложная, чем псевдориманова метрика, то мы с самого начала предполагали бы, что кроме сил гравитации и сил инерции существует еще какое-то неизвестное силовое поле, которое является проявлением неевклидовости геометрии пространства-времени.
Итак, при наличии неоднородного гравитационного (гравитационно-инерциального) силового поля, т.е. гравитационного поля, неустранимого выбором системы отсчета, метрика пространства-времени является псев-доримановой.
§ 10.8. Связь составляющих фундаментального тензора с величинами, описывающими поле сил инерции в ньютоновой механике
Рассмотрим, как связаны составляющие g с величинами, описывающими ньютоново гравитационное поле и поле сил инерции в ньютоновой механике. Для этого рассмотрим некоторые системы отсчета и уравнения движения свободной частицы в криволинейных пространственно-временных координатах.
1. Система отсчета Мёллера. Как известно, в системе отсчета Мёллера
ds2 =-(1 + ах/с2)2 с2 dt2 +dx2 +dy2 +dz2.
В этой системе отсчета все составляющие g? v, кроме goo, совпадают с гали-леевыми значениями, a g0o = -(1+ ах/с2)2. В достаточно малых областях, определяемых неравенствами \х\ < с2/а, at < с, как было показано в § 10.3, систему отсчета Мёллера можно рассматривать как равноускоренную систему отсчета ньютоновой механики. Из первого неравенства следует I ах/с2 \ < 1. Если ускорение равномерно ускоренной системы от-
102 счета относительно инерциальной системы равно а, то в ней действует сила инерции —я, потенциал которой равен Ф = -ах, причем в рассматриваемой области имеет место неравенство | Ф/с2 1^1. Таким образом, в нерелятивистском приближении между величиной go о и потенциалом сил инерции равномерно ускоренной неинерциальной системы отсчета имеет место следующая связь:
2. Вращающаяся система отсчета. В неинерциальной системе отсчета, вращающейся относительно инерциальной системы отсчета с постоянной угловой скоростью, равной со, линейный элемент ds29 как было показано в § 10.3, имеет вид
Линейная скорость движения точек относительно инерциальной системы отсчета равна v = cor, и для точек, достаточно близких к оси вращения, выполняется условие (v/c)2 < 1. Таким образом, нерелятивистское приближение получается при условии со2г2/с2 < 1. В нерелятивистском случае поле центробежных сил инерции вращающейся системы отсчета имеет потенциал Ф =Hco2T2, поэтому в нерелятивистском приближении
Таким образом, и во вращающейся системе отсчета между goo и нерелятивистским потенциалом сил инерции существует такая же связь, как и в системе отсчета Мёллера.
Что же описывают составляющие g0i фундаментального тензора? Легко видеть, что в линейном элементе вращающейся системы отсчета g01 = = 0, go 2 =0, go 3 = ^or2/с (мы здесь используем обозначения Z=X1, г = = X2, ^p = х3). При преобразовании пространственных координат в данной системе отсчета тройка величин g0i преобразуется как составляющие пространственного ковариантного вектора. Две составляющие этого вектора goi, go2 равны нулю, следовательно, он направлен вдоль третьей координатной линии - линии кр.
