Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение Пуассона представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных. Поэтому естественно потребовать, чтобы новый закон тяготения описывался дифференциальными уравнениями второго порядка в частных производных, переходящими в соответствующем приближении в уравнения Пуассона. Поскольку релятивистским аналогом ньютоновского потенциала является метрический тензор, имеющий десять существенных составляющих, то новый закон тяготения должен описываться системой десяти дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных. Как известно, уравнение Пуассона может быть записано в виде
V2 Ф = — 4я7р, (12.1)
где Ф — ньютоновский потенциал, р — плотность массы. Из принципа общей ковариантности — предположения, согласно которому законы физики можно выразить в форме, не зависящей от выбора пространственно-временных координат, — следует, что релятивистские уравнения гравитационного поля должны быть ковариантны, для этого достаточно записать их в тензорной форме (см. также § 13.1).
Таким образом, в левой части релятивистских уравнений, обобщающих уравнение Пуассона, должен стоять некоторый тензор, содержащий производные от метрического тензора g?V до второго порядка включительно и имеющий десять существенных составляющих. Известными нам тензорами, содержащими производные от g?U до второго порядка вклю-8* 115 '*' Ct
чительно, являются тензор Римана - Кристоффеля Gfiva , тензор Риччи
Gpv = G?v(ja и тензор Эйнштейна Eiiv = Gtiv-xAgtivG. Тензор Римана -
Кристоффеля GtivcJci имеет двадцать существенных составляющих, а не десять. Каждый из тензоров Gfiv и Etiv имеет десять существенных составляющих, поэтому в левой части релятивистских уравнений может стоять какой-нибудь из этих тензоров или их комбинация. Следовательно, левая часть релятивистских уравнений есть некоторый симметричный тензор второго ранга Qtiv. Тогда и в правой части должен стоять симметричный тензор второго ранга, причем он должен характеризовать распределение и движение масс. Таким тензором является тензор энергии-импульса. Заметим, что в левой части релятивистских уравнений гравитационного поля могли бы стоять и члены типа GtiaGv9 которые также являются тензорами второго ранга и имеют десять существенных составляющих. Однако уравнение Пуассона по отношению к старшим производным линейно, поэтому при установлении его релятивистского обобщения потребуем, чтобы релятивистские уравнения гравитационного поля также были линейны по отношению к старшим производным.
Таким образом, релятивистские уравнения гравитационного поля запишем в виде
Qtiv = ± к T?v, к = const > 0. (12.2)
В качестве левой части этих уравнений возьмем тензор
где а, Ъ — постоянные числа.
Преобразуем тензор Qtiv следующим образом:
QHV = G ?v _ lAgnvG + + Vl)g?vG
Тогда искомые уравнения (12.2) принимают вид
Gliv - VigtivG + (а + + bg?v = ±к Tliv. (12.3)
Теперь необходимо определить a, b и из сопоставления с уравнением Пуассона найти к и выяснить, какой знак стоит перед к.
Уравнения (12.3) представляют собой систему десяти уравнений с десятью неизвестными функциями gtiv. Все ли эти уравнения должны быть независимыми или они должны удовлетворять некоторым тождественным соотношениям? Рассмотрим этот вопрос подробнее. Пусть некоторая система десяти функций^ду = g?i;(x0f X1f X2f х3) есть частное решение системы уравнений (12.3), записанное в какой-то четырехмерной системе координат Введем другую систему координат {x? }, связанную с первой формулами преобразования х ^ =X^ Jc1, X2f х3). В новой системе координат получим glv = g'uvix? , X1 , X2 , X3 ). Система функций g^v представляет собой то же самое решение системы уравнений (12.3), но записанное в другой системе координат, поэтому выражающееся другими функциями. Причем вид уравнений (12.3) цри таком преобразовании координат не изменится, так как уравнения общековариантны. Таким образом, функции g?v и g'pt; представляют собой эквивалентные решения; отличие этих функций друг от друга зависит от того, каковы формулы 116 преобразования координат. Значит, одно и то же решение можно представить в различных аналитических формах, беря их в разных системах координат. Нельзя ли найти такую систему координат, в которой найденное решениеg?V принимает форму, удовлетворяющую заранее взятым требованиям? Нельзя ли найденные функции g?v преобразованием координат обратить в наперед заданные функции? Можно, но не все десять функций g?V. Поскольку мы имеем четыре формулы преобразования координат, то надлежащим выбором четырехмерной системы координат четыре функции из десяти функций g?v можно обратить в наперед заданные функции. Таким образом, имея какое-то решение уравнений (12.3), на новую форму того же решения можем наложить четыре ограничения. Это есть следствие общековариантности уравнений (12.3). Четыре ограничения, накладываемые на десять функций g?Vi равносильны выбору новой системы координат. Таким образом, четыре из десяти функций g?l, зависят от нашего произвола — от выбора четырех координатных условий. Значит, уравнения (12.3) должны однозначно давать не все десять функций g?V, а только шесть. Однако уравнений всего десять, следовательно, не все они должны быть независимыми, между ними должны существовать четыре тождественных соотношения.
