Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Часто пользуются изотропными (нулевыми) геодезическими линиями. На этих линиях за канонический параметр нельзя принимать s (или а) ввиду их тождественного обращения в нуль, но можно рассматривать канонический параметр т. Нулевые геодезические линии определяются дифференциальными уравнениями (6.1) с дополнительным условием ds2 = = dx»dxu = 0.
§ 6.2. Линии экстремальной длины
Пусть даны две мировые точки А и В. Их можно связать линиями ненулевой длины, т.е. линиями, для которых ds Ф 0. Длина любой линии
в
определяется величиной /ds. Пусть точки А и В фиксированы. Среди ли-
A
ний, соединяющих А и В, есть линия, которая имеет экстремальную дли-
в
ну, следовательно, для нее имеет место равенство 5 fds = 0. Это условие
А
является необходимым, но, вообще говоря, недостаточным условием экстремума длины линии. Покажем, что уравнения ненулевой (неизотропной) геодезической линии вытекают из вариационного принципа в
Sfds = 0. (6.3)
А
54 Введем произвольный параметр р так, чтобы линии описывались уравнениями Xа = Xа (р). Для каждой кривой эти функции разные, так что при переходе от одной кривой к другой они варьируются, но сам параметр не варьируется. Параметр р отмечает соответствующие точки на различных кривых. Его можно выбрать различными способами. В качестве параметра р выберем длину S9 измеренную вдоль экстремальной кривой. Для другой кривой р уже не будет длиной, отсчитываемой вдоль этой кривой. Дифференцирование по параметру будем обозначать точкой. Введем по определению
L = VigiivXilxv9 где x?=dx?/dp. Тогда
dx? dxv /dsу
^gixv dp dp \dp)
ds2 =ILdp2 ds =\JlLdp,
в в в __ yfi вы
bids = Sb(ds)=M2b{yjL)dp=— f-^dp. AA A 2 A\JL
B
Поскольку для экстремальных кривых справедливо равенство 6 fds = О,
А
то необходимое условие экстремума длины линии приобретает вид
в IL
I /г- ф = 0. На экстремалях р =S9 следовательно, dp =ds9L = 1A. С учетом A Vl В
этого получим / SL dp = 0, откуда следует соотношение А
в
b $Ldp = 0, (6.4)
А
которое приводит к уравнению Эйлера - Лагранжа: bL d /bL \
-S* <6-5>
Поскольку
^ = 2 В»»*m^"'
то
bL= 1.?
дха 2 Txa Ы _ 1 дх" ~ 2
(Sav'x"+ g?a'xl1) = gav'xV
С учетом того, что, вообще говоря, gav - функции координат, а сами координаты - функции р, имеем
d/bL\ dga„
- '=-+gav*v
XxaJ Ъх"
dp\<
55 Тогда уравнение (6.5) примет вид
С учетом
имеем
Saux + ^
1 /^Solv ^gац dg?V\
к»*" = О
или
Solvx OLx^x
Свертывая это равенство с gaa, получим х ° + T0uv х» xv = 0. Эти равенства выполняются на экстремалях, на которых P=S9 следовательно ,
Полученные уравнения совпадают с уравнениями неизотропных геодезических (линий неизменного направления). Таким образом, экстремальные линии являются линиями неизменного направления. Заметим, что в некоторых, неметрических, геометриях понятие длины не определено, следовательно, не определены экстремальные линии, но линии неизменного направления определены. В этом смысле можно сказать, что экстремальные линии представляют собой частный случай линий неизменного направления.
В псевдоримановых пространствах интервал ds* может иметь мнимое, нулевое или действительное значение. Как известно, ds2 = -C2Jr2 + du2. Если ds имеет мнимое значение, то c2dr2 > du2. Такие линии называются времениподобными. Если ds2 имеет вещественное значение, то с2dr2 < < du2, такие линии называются пространственно подобными. Если ds = 0 для несовпадающих точек, то линии называются изотропными (нулевыми, световыми). Очевидно, не всякая изотропная кривая является изотропной геодезической.
Заметим, что для изотропных геодезических вариационный принцип в в
5 J ds = 0 не имеет места, хотя вариационный принцип Ь J L dp = 0 справед-A А
лив. В случае изотропных геодезических линий координаты точек линии ха не могут быть выражены в виде функции длины дуги s вследствие ее равенства нулю. Уравнения изотропных геодезических линий можно полу-
в
чить из вариационного принципа (6.4) / bL dp = 0, где р есть канонический
А
параметр, определенный вдоль геодезической, но отличный от ее длины.
J2jca dx» dxv
(6.6) ГЛАВА 7 ТЕНЗОР РИМАНА-КРИСТОФФЕЛЯ
§ 7.1. Перемена порядка ковариантного дифференцирования
Пусть дан ковариантный вектор Vfi. Дважды его ковариантно продифференцируем. Возникает вопрос: можно ли менять порядок, в котором производятся последовательные ковариантные дифференцирования, изменится ли результат от перемены этого порядка? Как известно, в случае обычного дифференцирования функций значение любой смешанной частной производной п-го порядка функции в данной точке не зависит от порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования, если в этой точке рассматриваемая функция п раз дифференцируема. Докажем важную теорему о перемене порядка ковариантного дифференцирования.
Теорема. Вторые смешанные ковариантные производные, вообще говоря, не коммутативны, т.е. нельзя менять порядок, в котором производятся последовательные ковариантные дифференцирования.
