Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Последнее равенство верно при любых dxa, dx?, следовательно,
Sa? = e(a)e(?)-
С учетом
e(c*)e(?) = e(ot)e(?) COS(x°^)
имеем ^^
cos (ха9 x?) = ga?/V gaaS?? (не суммировать!)
Отсюда, в частности, видно, что если отлична от нуля хотя бы одна из величин goi (/ = 1, 2, 3), то пространственные сечения не ортогональны к линиям времени. 38Чему равны е (а) в галилеевой системе координат? В галилеевой системе координат
ds2 =-dx°2 +dx+ dx7,2 + <ix3\
следовательно, g00 = -1 ^gll = g22 =?33 = Ugap =0,ot^?; значит, пространственные сечения ортогональны к линиям времени, причем е20) =
= -1, ?(!У = е\г) = е\з) =
Пусть дана система отсчета, следовательно, определены все линии времени. Пространственные сечения могут быть выбраны различным способом. Пусть как-то заданы пространственные сечения, они могут быть ортогональными к линиям времени, но могут быть и не ортогональными к ним. Выберем пару бесконечно близких событий. Найдем выражения для промежутков истинного времени и пространственного расстояния в этой системе отсчета. Пусть du - пространственное расстояние, dr - промежуток истинного времени. Сначала для простоты рассмотрим случай галилеевой системы координат. Тогда пространственные сечения ортогональны к линиям времени (рис. 2). В галилеевой системе координат, как известно,
с dr = dx°, du2 = dxx 2 + dx22 + dx32,
следовательно,
ds2 = -с2dr2 +du2 = {icdr)2 -Ydu2i і2 =-1.
Перейдем в произвольную систему координат и найдем элементарные промежутки истинного времени и пространственной длины в произвольной системе координат при произвольной метрике.
Пусть dr - вектор бесконечно малого смещения. Тогда dr = е ^dxa и ds2 = dr dr . Равенство ds2 = (Jicdr)2 + du2 будем считать справедливым и в произвольной системе координат при произвольной метрике. Тогда і с dr есть длина проекции dr на линию времени системы отсчета, а du -длина проекции dr на пространственное сечение, ортогональное к линии времени, как показано на рис. 2. (Это можно рассматривать как определение dr и du в произвольной системе координат при произвольной метрике.)
39Направление линии времени определяется вектором поэтому
^4 ^re(O)
±icdT = dr cos (dr, е(0)) = -=
e(0)e(a)dxa 1 Sootdxci
= - = - e(0)eia)dxa = -
е(о) ^(0) ^(0)
или
х , goadx" g0adxа
±cdT =- = -. (4.4)
ie(o) V-Soo
В галилеевой системе координат
icdr = ^ = -^ V~S0 0
и, как известно, с dr = dx°. Следовательно, в (4.4) нужно выбрать знак минус. Итак, бесконечно малый промежуток истинного времени dr определяется формулой
go Ctdxa
cdr = - — , V-Soo
которая справедлива в любой системе координат при произвольной метрике. Если goi = 0, то cdT = V-Soo dx°. Найдем выражение для du:
du2 = ds2 +C2Jr2 = ga?dxadx? + -gQqdxa\/ -go?dx? \ ^
V-Soo V-Soo '
= + dxW = (^, - )
-Soo V goo /
Здесь суммирование производится по а и 0, причем а, 0 входят одинаковым образом. Легко видеть, что если один из индексов а, ? равен нулю, то Sa? -gootgo?lgoo - 0, поэтому du2 = hikdxldxk,
где hik = gik -goigoklgoo- Величины hik можно рассматривать к?к составляющие ковариантного метрического тензора в трехмерном пространстве четырехмерного пространства-времени. Можно показать, что hlk = glk.
§ 4.3. Сигнатурные условия
Условимся, что промежутки времени и пространственные длины, а также координаты вещественны. Рассмотрим элементарный промежуток истинного времени cdT = —Soa^a/ V -Soo- Поскольку с dT вещественный, goadxa вещественный, то g00 < 0. Условие g00 < 0 называется первым сигнатурным условием. 40Из условия вещественности пространственной длины du следует, что du2 > 0. Для того чтобы квадратичная форма du2 = hikdxl dxk была положительной, ее коэффициенты должны удовлетворять следующим условиям: Лц>0,
AM A12 H2 і h22
hn Ai2 A13
> o, h2i A2 2 A23
Азі A32 A33
>0.
Эти три условия вместе с условием g00 < 0 являются сигнатурными условиями. Из последних трех условий получим условия Hagaj3.
Soo Soi
1. Рассмотрим определитель свойства определителей:
gio gl1
и преобразуем его, используя
go 0 goi goo goi
gio gll gio goi - - goo goo gll goi go goo
goo goi 0 Am
Условие
go 0 go 1 gl 0 gll
goohn < 0.
< 0 следует ИЗ условий g00 < 0 И hl і > 0.
2. Рассмотрим определитель
зуя свойства определителей:
go о So і go 2 gl 0 gll gl 2
g2 0 g2 1 g2 2
goo got go 2
0 Au A12
0 A21 A22
Условие
goo
goo g 01 g 02 gio gll g 12 g 2 0 g 2 1 g 2 2
goi
. Преобразуем его, исполь-
g0 2
Soi Soi Soi
g 10 - -Soo gll - -Soi SrI2- - go 2
Soo Soo Soo
go 2 go г go 2
gl 0 - -Soo S21 - -Soi S22 - - go 2
Soo Soo goo
= Soo
hu Ai2 h22
= goo(h11h22 - A?2)<0.
goo goi g02
glO gl\ g\2 g20 g21 g22
< 0
41следует из того, что g00 < О и
Au A2I
Ai2 A22
>0.
3. Рассмотрим фундаментальный определитель g и преобразуем его, используя свойства определителей:
S =
Soo Soi goi goa g 0 0 goi So 2 S0 3
Sl 0 gii gii g 13 0 An Al 2 Ai3