Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зельманов А.Л. -> "Элементы общей теории относительности" -> 16

Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.

Зельманов А.Л., Агаков В.Г. Элементы общей теории относительности — М.: Наука , 1989. — 240 c.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка): elementiobsheyteoriiotnositelnosti1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 89 >> Следующая


Последнее равенство верно при любых dxa, dx?, следовательно,

Sa? = e(a)e(?)-

С учетом

e(c*)e(?) = e(ot)e(?) COS(x°^)

имеем ^^

cos (ха9 x?) = ga?/V gaaS?? (не суммировать!)

Отсюда, в частности, видно, что если отлична от нуля хотя бы одна из величин goi (/ = 1, 2, 3), то пространственные сечения не ортогональны к линиям времени. 38 Чему равны е (а) в галилеевой системе координат? В галилеевой системе координат

ds2 =-dx°2 +dx+ dx7,2 + <ix3\

следовательно, g00 = -1 ^gll = g22 =?33 = Ugap =0,ot^?; значит, пространственные сечения ортогональны к линиям времени, причем е20) =

= -1, ?(!У = е\г) = е\з) =

Пусть дана система отсчета, следовательно, определены все линии времени. Пространственные сечения могут быть выбраны различным способом. Пусть как-то заданы пространственные сечения, они могут быть ортогональными к линиям времени, но могут быть и не ортогональными к ним. Выберем пару бесконечно близких событий. Найдем выражения для промежутков истинного времени и пространственного расстояния в этой системе отсчета. Пусть du - пространственное расстояние, dr - промежуток истинного времени. Сначала для простоты рассмотрим случай галилеевой системы координат. Тогда пространственные сечения ортогональны к линиям времени (рис. 2). В галилеевой системе координат, как известно,

с dr = dx°, du2 = dxx 2 + dx22 + dx32,

следовательно,

ds2 = -с2dr2 +du2 = {icdr)2 -Ydu2i і2 =-1.

Перейдем в произвольную систему координат и найдем элементарные промежутки истинного времени и пространственной длины в произвольной системе координат при произвольной метрике.

Пусть dr - вектор бесконечно малого смещения. Тогда dr = е ^dxa и ds2 = dr dr . Равенство ds2 = (Jicdr)2 + du2 будем считать справедливым и в произвольной системе координат при произвольной метрике. Тогда і с dr есть длина проекции dr на линию времени системы отсчета, а du -длина проекции dr на пространственное сечение, ортогональное к линии времени, как показано на рис. 2. (Это можно рассматривать как определение dr и du в произвольной системе координат при произвольной метрике.)

39 Направление линии времени определяется вектором поэтому

^4 ^re(O)

±icdT = dr cos (dr, е(0)) = -=

e(0)e(a)dxa 1 Sootdxci

= - = - e(0)eia)dxa = -

е(о) ^(0) ^(0)

или

х , goadx" g0adxа

±cdT =- = -. (4.4)

ie(o) V-Soo

В галилеевой системе координат

icdr = ^ = -^ V~S0 0

и, как известно, с dr = dx°. Следовательно, в (4.4) нужно выбрать знак минус. Итак, бесконечно малый промежуток истинного времени dr определяется формулой

go Ctdxa

cdr = - — , V-Soo

которая справедлива в любой системе координат при произвольной метрике. Если goi = 0, то cdT = V-Soo dx°. Найдем выражение для du:

du2 = ds2 +C2Jr2 = ga?dxadx? + -gQqdxa\/ -go?dx? \ ^

V-Soo V-Soo '

= + dxW = (^, - )

-Soo V goo /

Здесь суммирование производится по а и 0, причем а, 0 входят одинаковым образом. Легко видеть, что если один из индексов а, ? равен нулю, то Sa? -gootgo?lgoo - 0, поэтому du2 = hikdxldxk,

где hik = gik -goigoklgoo- Величины hik можно рассматривать к?к составляющие ковариантного метрического тензора в трехмерном пространстве четырехмерного пространства-времени. Можно показать, что hlk = glk.

§ 4.3. Сигнатурные условия

Условимся, что промежутки времени и пространственные длины, а также координаты вещественны. Рассмотрим элементарный промежуток истинного времени cdT = —Soa^a/ V -Soo- Поскольку с dT вещественный, goadxa вещественный, то g00 < 0. Условие g00 < 0 называется первым сигнатурным условием. 40 Из условия вещественности пространственной длины du следует, что du2 > 0. Для того чтобы квадратичная форма du2 = hikdxl dxk была положительной, ее коэффициенты должны удовлетворять следующим условиям: Лц>0,

AM A12 H2 і h22

hn Ai2 A13
> o, h2i A2 2 A23
Азі A32 A33

>0.

Эти три условия вместе с условием g00 < 0 являются сигнатурными условиями. Из последних трех условий получим условия Hagaj3.

Soo Soi

1. Рассмотрим определитель свойства определителей:

gio gl1

и преобразуем его, используя

go 0 goi goo goi
gio gll gio goi - - goo goo gll goi go goo

goo goi 0 Am

Условие

go 0 go 1 gl 0 gll

goohn < 0.

< 0 следует ИЗ условий g00 < 0 И hl і > 0.

2. Рассмотрим определитель

зуя свойства определителей:

go о So і go 2 gl 0 gll gl 2

g2 0 g2 1 g2 2

goo got go 2

0 Au A12

0 A21 A22

Условие

goo

goo g 01 g 02 gio gll g 12 g 2 0 g 2 1 g 2 2

goi

. Преобразуем его, исполь-

g0 2

Soi Soi Soi
g 10 - -Soo gll - -Soi SrI2- - go 2
Soo Soo Soo
go 2 go г go 2
gl 0 - -Soo S21 - -Soi S22 - - go 2
Soo Soo goo

= Soo

hu Ai2 h22

= goo(h11h22 - A?2)<0.

goo goi g02

glO gl\ g\2 g20 g21 g22

< 0

41 следует из того, что g00 < О и

Au A2I

Ai2 A22

>0.

3. Рассмотрим фундаментальный определитель g и преобразуем его, используя свойства определителей:

S =

Soo Soi goi goa g 0 0 goi So 2 S0 3
Sl 0 gii gii g 13 0 An Al 2 Ai3
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 89 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed