Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
-10 0 0
48 тей: а) абсолютного приращения DVa9 б) приращения 5 Va9 которое вызвано криволинейным характером координат:
dVa =DVa +8 Vа, причем
ZVa я dVa= —- dx?. ЪхР
Аналогично для тензоров второго ранга имеем dQ?v = DQ?V + SQiiv9 dQ?v = dx?.
Здесь Qixv - составляющие тензора поля в точке x?9 Qiiv + dQ?V - составляющие тензора поля в точке x? + dx?. Возникает вопрос — как же отличиїь DVa or 6 Vа9 a DQiiv от SQixvfI
Пусть метрика галилеева. Тогда можно ввести галилееву систему координат. В галилеевой системе координат (которую выделим знаком приращение Ь Qiiv9 обусловленное криволинейным характером координат, равно нулю (SQiiv = 0), поэтому dQ?V = DQiiv. Очевидно, SQiiv не является тензором, так как для одного и того же тензора Qiiv в одних (декартовых) координатах SQuv равно нулю, а в других (криволинейных) отлично от нуля. Однако абсолютное приращение DQiiv9 как уже было отмечено, является тензором как разность двух тензоров, взятых в одной и той же точке, — тензора поля, находящегося в точке x? + ~dx?9 и копии тензора поля, параллельно перенесенной из точки x? в точку x? + + At'. При этом DQiiv есть тензор того же ранга, что и тензор Qiiv. Кроме того, в галилеевых координатах DQiiv = dQ?V.
Рассмотрим случай негалилеевой метрики. При псевдоримановой метрике абсолютное приращение тензора DQiiv определяется следующими двумя свойствами: а) абсолютное приращение DQiiv есть тензор; б) в локально-геодезической системе координат составляющие тензора DQiiv совпадают CdQiiv.
Рассмотрим случай контравариантного тензора первого ранга (кон-травариантного вектора). Абсолютное приращение DVa такого тензора также является контравариантным вектором. Выразим DVa через составляющие вектора Vа. При этом воспользуемся тем фактом, что в ло-кально-геодезической системе координат (которую выделим знаком ~) DV** = d Vа. Согласно формулам преобразования контравариантного вектора имеем
-,V Ъх°
DV0=DVa-.
Bica
Однако DVa =dVa.Q другой стороны,
/ Ъха\ Э / Ъха\ dVa=d(V?— )= — [V» —)dxv =
\ a*"/ bxv\ aW
/Э Vfi дха д2ха \
= (--+Vtl -Jdxv =
V Эх" Эх" Эх"Эх"/
4. А.Л. Зельманов =( <
9F" Эх" д Xе Эх" Эх"\
--+ Fp---Wx" =
Эх" Эх" Эх"Эхр Эх" Эх?/
9F" Э2хе Эх"\Эх"
- + Fp--J-dx".
Эх" Эх" Эхр Эх V Эх"
С учетом этого
~ Эх" /9F" Э2х? Эх"\Эх" Эх"
DVa -=(-+ Fp---)--dx" =
Эх" \Эх" Эх Эхр Эх V Эх" Эх"
/ЭК° Э2хе Эх°\
=( - +Fp--Wx" =
\Эх" Эх"Эхр Эх V
ZbVa u Э2хе ЭхЛ „
= I - + F"--Idxv.
\дх" Эх"Эх" Эхе/
Таким образом,
~ Эх° /9F° Э2хе Эхст\
DVa = DVa- =( - + F"--)dxv.
Эх" VЭх" Эх"Эх" ЭXeJ
Формулы преобразования символов Кристоффеля второго рода при переходе от локально-геодезической системы координат можно представить в виде (см. § 3.3)
о _ Э2х* Эх*7 ~ Эх"Эх" 9І7 ' С учетом этого
/9F° \
DV°\-^+r %V)dxv. (5.3)
Очевидно, выражение в скобках есть ковариантная производная (Va)u, поэтому имеем
DVa = (Va)v dxv.
На основании полученного равенства можно сделать следующий вывод о ковариантной производной. Поскольку абсолютное приращение DVa есть вектор при любом векторе dxv, то по теореме частного следует, что величины (Va)v = Э Vа/bxv + V? образуют тензор. Таким образом, можно дать другое определение ковариантной производной: ковариантная производная вектора есть такая тензорная величина, при свертывании которой с dxv получится абсолютное приращение этого вектора. Аналогично можно показать, что
DVa = (Va)vdx\ DAaZr = {A^r)vdxv.
Заметим, что DVa- 0 только тогда, когда (Va)u = 0. Судить об однородности или неоднородности векторного поля Vа можно, выяснив, равняется нулю ковариантная производная (Va)v или нет.
Итак, тензорное поле является однородным, если ковариантная производная тензорной характеристики поля равна нулю, в противном случае 50 тензорное поле неоднородно. (См. также о дифференциальном критерии пространственной однородности Приложение, § 1.)
Вернемся к вопросу о параллельном переносе вектора. Приращение вектора Vfl при произвольном переносе его из одной мировой точки в другую, бесконечно близкую, вычисляется по формуле dV? = DVil + 8 V11. При бесконечно малом параллельном переносе вектора (тензора) из данной мировой точки в другую его компоненты не меняются в системе координата, локально-геодезической (галилеевой) в данной точке. Поэтому при параллельном переносе абсолютное (истинное) приращение вектора (тензора) равно нулю. Таким образом, можно дать другое определение параллельного переноса вектора (тензора):
Говорят, что вектор V? (тензор Q'?.,.') переносится параллельно самому себе вдоль некоторого пути, если при переносе его абсолютное (истинное) приращение равно нулю:
DV11 = 0 (DQj^" = 0).
Отсюда следует, что при параллельном переносе приращение вектора Vfl вычисляется по формуле dVjjL = 8 Vu. Таким образом, 8 Vfi есть приращение, получаемое вектором при его параллельном переносе. При произвольном переносе, как было отмечено выше, вектор получает приращение dV? = DVfl + 8 V11. Выведем формулу для вычисления 8 Vfi. Равенство 6 V? = dV? -DV11 с учетом
