Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Системы координат, привязанные к одному и тому же телу отсчета, называются принадлежащими одной и той же системе отсчета. Тела отсчета называются разными, если они движутся относительно друг друга.
Пусть дана четырехмерная система координат, принадлежащая некоторой системе отсчета.
Линией времени системы отсчета называется линия, определенная тремя условиями X1 =COnst.
Формулы преобразования от одной четырехмерной системы координат к другой имеют вид
ха\х°,х1,х2,х3) (4.1)
или
X0' = х°'(х°,х\х2,х3), (4.2)
xr= хГ(х\х\х2,х3). (4.3)
Пусть частица покоится относительно системы координат S9 т.е. х1 = = const, следовательно, она покоится и по отношению к телу отсчета, тогда она покоится и по отношению к любой другой системе координат S', которая принадлежит этому же телу отсчета, поэтому х1 = const.
Таким образом, если системы координат принадлежат орному и тому же телу отсчета, то из условия xl = const следует условие X1 = const, а это имеет место только тогда, когда дх' /Эх0 = 0. 36 Итак, условие того, что две системы координат принадлежат одной и той же системе отсчета (телу отсчета), имеет вид
--о
Эх0
Общее преобразование систем координат, принадлежащих одной и той же системе отсчета, имеет вид
X0' =х°\х°,х1,х2,х3), Xі' = jt'V,*2,*3).
Тогда условия xl = const их1= const эквивалентны,следовательно,эти два условия определяют одни и те же линии времени. Линии времени двух координатных систем, принадлежащих одной и той же системе отсчета, совпадают. Поэтому можно утверждать, что система отсчета полностью определяется совокупностью своих линий времени. Факт движения одной системы отсчета по отношению к другой системе отсчета, т.е. факт того, что две системы координат принадлежат разным телам отсчета, отражается в наличии х° в формулах преобразования Xі = x1 (х°, X1fX2fX3).
Пространственным сечением называется многообразие точек, определяющихся условием х° = const. Пространственное сечение — это совокупность мировых точек, для которых временная координата имеет одно и то же значение. Каждая система координат имеет свои пространственные сечения. Естественно, возникает вопрос: в каких случаях две системы координат имеют одни и те же пространственные сечения? Из равенства (4.2) видно, что из условия X0 = const вытекает условие X0 = const только при Эх0 Ibxi = 0, / = 1, 2, 3. Таким образом, если даже две системы координат принадлежат одной и той же системе отсчета (телу отсчета), то, вообще говоря, у них пространственные сечения разные. Две системы координат { ха} и [x? } имеют разные пространственные сечения, если Эх0 /Эх1 Ф 0.
Рассмотрим следующий пример. Как известно, временная координата представляет собой показания произвольных часов, изменяющиеся непрерывным образом. Пусть X0 — координата времени, отсчитываемая пружинными часами, а х° — координата времени, отсчитываемая маятниковыми часами. Поскольку показания маятниковых часов зависят от силы тяжести, значит, от их местонахождения, следовательно, от пространственных координат, то х° = X0 (х°, х1, х2, х3). Набору маятниковых часов соответствуют одни пространственные сечения, а набору пружинных часов -другие пространственные сечения. Таким образом, чтобы изменить пространственные сечения, нужно один набор часов заменить на другой набор часов.
§ 4.2. Элементарные промежутки истинного времени и пространственной длины
Для точки в римановом пространстве введем касательное плоское пространство. Оно вводится таким образом, что система координат, которая в римановом пространстве является локально-геодезической для этой точки, в касательном плоском пространстве является геодезической. Фундаментальный тензор в римановом пространстве в локально-геоде-
37 зической системе координат, как известно (см. § 3.3), имеет вид
й, = + (*? - +...
Чему же равен фундаментальный тензор в касательном плоском пространстве? В касательном плоском пространстве эта система координат является геодезической, следовательно, в нем имеет место равенство^gilv = (g?V)o. Таким образом, фундаментальный тензор в римановом пространстве в данной точке (т.е. значения (g?V) 0) представляет собой фундаментальный тензор в касательном плоском пространстве.
Для каждой точки риманова пространства введем касательное плоское пространство и базисные векторы, касательные к координатным линиям. Пусть е (а) - базисные векторы, вообще говоря, не единичные (индекс а обозначает номер базисного вектора, а не составляющей). Итак,
*(о> =(4))'0' *0) = (°>
Є(2) = (0,0, е2(2)90), е(3) = (0,0,0, е3(3)).
Для удобства введем следующие обозначения:
е(0) = е(0)> e(l) = е(1)> е(2) = е(2), ^(3) = еОУ Пусть dr — вектор бесконечно малого смещения: dr = (dx°, dx1, dx2, dx3).
Вектор dr можно записать в виде dr = e^^dx01. Скалярное произведение dr dr представляет собой квадрат элементарной длины: dr dr = ds2. С другой стороны,
drdr = e^dx0le^dx? = е^е^ dxadx?,
значит,
ds2 = e(?) dxCLdx?\
но поскольку
ds2 = ga?dxadx?,
то отсюда получим
(Sa? - e(a)e(?))dxadx? = 0.
